4. Игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим события: А «сумма выпавших очков делится на 2» и В «сумма выпавших очков делится на 3». Найдите P(A∩ B) и P(AUB).

Решение:

1. Общее число исходов: При броске игрального кубика дважды общее число возможных исходов равно $$6 \times 6 = 36$$.
2. Событие А «сумма выпавших очков делится на 2» (сумма четная): Сумма будет четной, если оба числа четные (Ч+Ч=Ч) или оба нечетные (Н+Н=Ч).
• Четные числа: 2, 4, 6 (3 варианта)
• Нечетные числа: 1, 3, 5 (3 варианта)
• Число исходов для А: $$(3 \times 3) + (3 \times 3) = 9 + 9 = 18$$.
3. Событие В «сумма выпавших очков делится на 3»: Суммы, делящиеся на 3: 3, 6, 9, 12.
• Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода
• Сумма 6: (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) – 5 исходов
• Сумма 9: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) – 4 исхода
• Сумма 12: (6,6) – 1 исход
• Число исходов для В: $$2 + 5 + 4 + 1 = 12$$.
4. Событие $$A \cap B$$ «сумма делится и на 2, и на 3» (то есть на 6): Суммы, делящиеся на 6: 6, 12.
• Сумма 6: (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) – 5 исходов
• Сумма 12: (6,6) – 1 исход
• Число исходов для $$A \cap B$$: $$5 + 1 = 6$$.
5. Вероятность $$P(A \cap B)$$: $$P(A \cap B) = \frac{\text{Число исходов для } A \cap B}{\text{Общее число исходов}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$.
6. Вероятность $$P(A \cup B)$$: Используем формулу: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$.
• $$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$.
• $$P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$.
• $$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.

Ответ:

• $$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$
• $$P(A \cup B) = \frac{2}{3}$$