4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 120°. Найдите длину дуги, площадь сектора, ограниченного этой дугой и двумя радиусами.

Решение:

1. Нахождение длины дуги:

Пусть \( R \) — радиус окружности. Хорда \( a \) стягивает дугу \( 120^\circ \). Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен \( 120^\circ \).

По теореме косинусов:

\( a^2 = R^2 + R^2 - 2 R \cdot R \cos(120^\circ) \)

\( a^2 = 2R^2 - 2R^2 \left(-\frac{1}{2}\right) \)

\( a^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2 \)

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \).

Длина дуги \( L \) вычисляется по формуле:

\( L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} \), где \( \alpha = 120^\circ \).

\( L = \frac{\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) 120^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi a\sqrt{3}}{9} \).

2. Нахождение площади сектора:

Площадь сектора \( S \) вычисляется по формуле:

\( S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} \).

\( S = \frac{\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \left(\frac{3a^2}{9}\right) 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \frac{a^2}{3} 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi a^2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi a^2}{9} \).

Ответ: Длина дуги равна \(\frac{2\pi a\sqrt{3}}{9}\). Площадь сектора равна \(\frac{\pi a^2}{9}\).