2. Даны точки A(1;1), В(4;5), C(-3;4). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный. Найдите длину медианы СМ.

Решение:

1. Доказательство равнобедренности и прямоугольности треугольника:

Найдем длины сторон треугольника:

• \( AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)
• \( BC = \sqrt{(-3-4)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} \)
• \( AC = \sqrt{(-3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \)

Так как \( AB = AC = 5 \), треугольник АВС равнобедренный.

Проверим теорему Пифагора: \( AB^2 + AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \). \( BC^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 \).

Так как \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), треугольник АВС прямоугольный (угол А = 90°).

2. Нахождение длины медианы СМ:

Координаты точки М (середины АВ): \( M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right) \).

Длина медианы \( CM = \sqrt{(-3-\frac{5}{2})^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-\frac{11}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{121}{4} + 1} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{125}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \).

Ответ: Треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный. Длина медианы СМ равна \(\frac{5\sqrt{5}}{2}\).