4. Докажите тождество $$\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot \left(\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}\right) = -1$$

Решение:

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках.

Знаменатель $$4a^2 - 12a + 9$$ — это квадрат разности $$(2a-3)^2$$.

Знаменатель $$4a^2 - 9$$ — это разность квадратов $$(2a-3)(2a+3)$$.

Общий знаменатель для скобки: $$(2a-3)^2(2a+3)$$.

$$\frac{2a}{(2a-3)^2} - \frac{3}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{2a(2a+3)}{(2a-3)^2(2a+3)} - \frac{3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a - (6a-9)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a - 6a+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{3}{2a-3} - \frac{8a(a^2 - \frac{18}{8})}{(2a-3)^2(2a+3)}$$

Перегруппируем члены $$8a^3 - 18a$$: $$2a(4a^2 - 9) = 2a(2a-3)(2a+3)$$.

$$\frac{3}{2a-3} - \frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9} \cdot \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}$$

Сократим $$4a^2+9$$ и $$(2a+3)$$:

$$\frac{3}{2a-3} - \frac{2a(2a-3)}{(2a-3)^2} = \frac{3}{2a-3} - \frac{2a}{2a-3}$$

Приведем к общему знаменателю $$2a-3$$:

$$\frac{3 - 2a}{2a-3}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

$$\frac{-(2a-3)}{2a-3} = -1$$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.