4. Докажите или опровергните тождество: (sinα + cosα)² + (sinα - cosα)² = 2(1-cos²α)/sin²α

Решение:

Рассмотрим левую часть тождества и раскроем скобки:

• \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
• \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

Сложим эти два выражения:

• \( (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \)
• \( = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
• Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:
• \( = 1 + 1 = 2 \)

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

• \( \frac{2(1-\cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} \)
• Из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) следует, что \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
• Подставляем это в правую часть:
• \( \frac{2(\sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} \)
• При \( \sin^2 \alpha
  eq 0 \) (то есть \( \alpha
  eq \pi k \), где \( k \) — целое число), это выражение равно 2.

Левая часть равна 2, и правая часть равна 2 (при условии, что \( \sin \alpha
eq 0 \)).

Вывод: Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.