2. Упростите выражение: (sin(3π/10) · cos(2π/5) + cos(3π/10) · sin(2π/5))² + (cos(π/10) · cos(3π/5) - sin(π/10) · sin(3π/5))² =

Решение:

Будем упрощать каждую часть выражения отдельно, используя формулы тригонометрии.

1. Первая часть: \( \sin \frac{3\pi}{10} \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{10} \sin \frac{2\pi}{5} \)
• Это формула синуса суммы: \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).
• Здесь \( A = \frac{3\pi}{10} \) и \( B = \frac{2\pi}{5} \).
• \( \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10} \)
• Получаем: \( \sin(\frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi}{10}) = \sin(\frac{7\pi}{10}) \)
• Теперь возведем в квадрат: \( (\sin \frac{7\pi}{10})^2 \)
2. Вторая часть: \( \cos \frac{\pi}{10} \cos \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10} \sin \frac{3\pi}{5} \)
• Это формула косинуса суммы: \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \).
• Здесь \( A = \frac{\pi}{10} \) и \( B = \frac{3\pi}{5} \).
• \( \frac{3\pi}{5} = \frac{6\pi}{10} \)
• Получаем: \( \cos(\frac{\pi}{10} + \frac{6\pi}{10}) = \cos(\frac{7\pi}{10}) \)
• Теперь возведем в квадрат: \( (\cos \frac{7\pi}{10})^2 \)
3. Складываем результаты:
• \( (\sin \frac{7\pi}{10})^2 + (\cos \frac{7\pi}{10})^2 \)
• Это основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
• Здесь \( \alpha = \frac{7\pi}{10} \).
• Получаем: \( 1 \).

Ответ: 1