4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

\( \Delta EPM \) — прямоугольный треугольник, так как \( \angle EPM = 90^{\circ} \).

а) Находим длину отрезка \( EP \):

1. В прямоугольном треугольнике \( \Delta EPM \) нам известны гипотенуза \( ME = 10 \) см и острый угол \( \angle MEP = 30^{\circ} \).
2. Катет \( EP \), лежащий против угла \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы: \[ EP = \frac{1}{2} ME \]
3. \( EP = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.
4. Длина отрезка \( EP \) равна \( 5 \) см.
5. Целые числа, между которыми заключена длина \( EP \), это \( 4 \) и \( 6 \), так как \( 4 < 5 < 6 \).

б) Находим длину медианы \( PD \):

Медиана \( PD \) в прямоугольном треугольнике \( \Delta EPM \) соединяет вершину прямого угла \( P \) с серединой гипотенузы \( ME \).

1. Свойство медианы прямоугольного треугольника: медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
2. \( PD = \frac{1}{2} ME \)
3. \( PD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.

Ответ: а) Между числами 4 и 6. б) Длина медианы \( PD \) равна 5 см.