Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Точка М – точка пересечения медиан тетраэдра DABC. Это значит, что \( \vec{DM} = \frac{1}{4}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}) \).
Точка К лежит на DC так, что DK : KC = 3 : 2. Значит, \( \vec{DK} = \frac{3}{5}\vec{DC} \).
Нам нужно разложить вектор MK по векторам BA, BC, BD. Перепишем векторы BA, BC, BD через векторы DA, DB, DC:
\( \vec{BA} = \vec{DA} - \vec{DB} \)
\( \vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB} \)
\( \vec{BD} = \vec{DD} - \vec{DB} = 0 - \vec{DB} = -\vec{DB} \)
\( \vec{MK} = \vec{DK} - \vec{DM} \)
\( \vec{MK} = \frac{3}{5}\vec{DC} - \frac{1}{4}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}) \)
\( \vec{MK} = \frac{3}{5}\vec{DC} - \frac{1}{4}\vec{DA} - \frac{1}{4}\vec{DB} - \frac{1}{4}\vec{DC} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{DA} - \frac{1}{4}\vec{DB} + (\frac{3}{5} - \frac{1}{4})\vec{DC} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{DA} - \frac{1}{4}\vec{DB} + (\frac{12-5}{20})\vec{DC} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{DA} - \frac{1}{4}\vec{DB} + \frac{7}{20}\vec{DC} \)
Теперь выразим \( \vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC} \) через \( \vec{BA} = \vec{a} \), \( \vec{BC} = \vec{c} \), \( \vec{BD} = \vec{d} \).
\( \vec{DB} = -\vec{d} \)
\( \vec{DC} = \vec{BC} - \vec{BD} = \vec{c} - \vec{d} \)
\( \vec{DA} = \vec{BA} + \vec{BD} = \vec{a} - \vec{d} \)
Подставим эти выражения в \( \vec{MK} \):
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}(\vec{a} - \vec{d}) - \frac{1}{4}(-\vec{d}) + \frac{7}{20}(\vec{c} - \vec{d}) \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{7}{20}\vec{c} - \frac{7}{20}\vec{d} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{7}{20}\vec{c} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{7}{20})\vec{d} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{7}{20}\vec{c} + (\frac{5}{20} + \frac{5}{20} - \frac{7}{20})\vec{d} \)
\( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{7}{20}\vec{c} + \frac{3}{20}\vec{d} \)
Ответ: \( \vec{MK} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{7}{20}\vec{c} + \frac{3}{20}\vec{d} \)
