Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Вектор D₁N можно представить как сумму векторов D₁A₁, A₁N. Вектор A₁N равен половине вектора A₁C₁. Вектор A₁C₁ равен сумме векторов A₁B₁ и B₁C₁. Так как ABCDА₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, то A₁B₁ = DC и B₁C₁ = AD. Также D₁A₁ = a, D₁C₁ = c, D₁D = d.
Вектор D₁N = D₁A₁ + A₁N.
Вектор A₁N = 1/2 * A₁C₁.
Вектор A₁C₁ = A₁B₁ + B₁C₁.
В параллелепипеде противолежащие грани параллельны и равны, поэтому:
A₁B₁ = DC
B₁C₁ = AD
Вектор D₁N = \( \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1}) \)
Вектор D₁N = \( \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{DC} + \vec{AD}) \)
Вектор D₁N = \( \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{AC} \)
Вектор AC = D₁A₁ + D₁C₁ - D₁N. Это неверно.
Рассмотрим диагонали параллелепипеда. Точка N - середина диагонали AC.
Вектор D₁N = \( \vec{D_1A_1} + \vec{A_1N} \).
Вектор \( \vec{A_1N} \) является медианой грани \( A_1B_1C_1D_1 \) треугольника \( A_1D_1C_1 \). Точка N - середина \( AC \). В параллелепипеде \( A_1C_1 \) является диагональю грани \( A_1B_1C_1D_1 \).
\( \vec{D_1N} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1N} \)
\( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{A_1C_1} \)
\( \vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} \)
В параллелепипеде \( \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1} = \vec{c} \) и \( \vec{B_1C_1} = \vec{D_1A_1} = \vec{a} \).
\( \vec{A_1C_1} = \vec{c} + \vec{a} \)
\( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{a}) \)
\( \vec{D_1N} = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{3}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} \)
Это неверно, так как N - середина отрезков AC и BD. Рассмотрим вектор BD. Его середина совпадает с серединой AC. N - середина BD.
\( \vec{D_1N} = \vec{D_1B} + \vec{BN} \)
\( \vec{BN} = \frac{1}{2} \vec{BD} \)
\( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \)
\( \vec{BD} = \vec{D_1A_1} + \vec{D_1D} \)
\( \vec{D_1N} = \vec{D_1A_1} + \frac{1}{2} \vec{BD} \)
\( \vec{D_1N} = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AD}) \)
\( \vec{BA} = -\vec{a} \), \( \vec{AD} = \vec{d} \)
\( \vec{D_1N} = \vec{a} + \frac{1}{2} (-\vec{a} + \vec{d}) = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{d} \). Это также неверно.
Правильное решение:
\( \vec{D_1N} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1N} \)
\( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{A_1C_1} \)
\( \vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} \)
Векторы \( \vec{A_1B_1} \) и \( \vec{D_1C_1} \) равны, векторы \( \vec{B_1C_1} \) и \( \vec{A_1D_1} \) равны.
\( \vec{D_1A_1} = \vec{a} \)
\( \vec{D_1C_1} = \vec{c} \)
\( \vec{D_1D} = \vec{d} \)
\( \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1} = \vec{c} \)
\( \vec{B_1C_1} = \vec{A_1D_1} = \vec{D_1D} = \vec{d} \)
\( \vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{c} + \vec{d} \)
\( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{A_1C_1} = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d}) \)
\( \vec{D_1N} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1N} = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d} \)
Ответ: \( \vec{D_1N} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d} \)
