4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведенная к основанию, равна 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AB = AC = 13 см. Медиана AM, проведенная к основанию BC, равна 5 см. Медиана в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, AM ⊥ BC, и M — середина BC. BM = MC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

\[ 13^2 = 5^2 + BM^2 \]

\[ 169 = 25 + BM^2 \]

\[ BM^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ BM = \sqrt{144} = 12 \) см.

Поскольку M — середина BC, то основание BC = 2 * BM = 2 * 12 = 24 см.

Периметр треугольника:

P = AB + AC + BC = 13 + 13 + 24 = 50 см.

Площадь треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AM \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр треугольника равен 50 см, площадь равна 60 см².