4. Автобус был задержан с выездом на 9 мин. Чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, водитель увеличил намеченную скорость на 10 км/ч. Найдите скорость автобуса, если расстояние, которое он проехал, равно 30 км.

Решение:

Пусть \( v \) — намеченная скорость автобуса (км/ч), а \( t \) — намеченное время в пути (ч).

Расстояние \( S = 30 \) км.

Из условия имеем:

\( S = v \cdot t \) => \( 30 = v \cdot t \) => \( t = \frac{30}{v} \>.

Новая скорость автобуса: \( v + 10 \) (км/ч).

Новое время в пути: \( t - \frac{9}{60} = t - \frac{3}{20} \> (ч).

Составим уравнение для нового пути:

\[ (v + 10) \left( t - \frac{3}{20} \right) = 30 \]

Подставим \( t = \frac{30}{v} \>:

\[ (v + 10) \left( \frac{30}{v} - \frac{3}{20} \right) = 30 \]

Раскроем скобки:

\[ v \cdot \frac{30}{v} - v \cdot \frac{3}{20} + 10 \cdot \frac{30}{v} - 10 \cdot \frac{3}{20} = 30 \]

\[ 30 - \frac{3v}{20} + \frac{300}{v} - \frac{30}{20} = 30 \]

\[ 30 - \frac{3v}{20} + \frac{300}{v} - \frac{3}{2} = 30 \]

Вычтем 30 из обеих частей:

\[ -\frac{3v}{20} + \frac{300}{v} - \frac{3}{2} = 0 \]

Умножим все на \( 20v \) для избавления от знаменателей:

\[ -3v^2 + 300 \cdot 20 - 3 \cdot 10v = 0 \]

\[ -3v^2 + 6000 - 30v = 0 \]

Разделим на -3:

\[ v^2 + 10v - 2000 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90 \]

Найдем \( v \>:

\[ v_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40 \]

\[ v_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 40 \> км/ч.

Ответ: Скорость автобуса — 40 км/ч.