4) ABCD – прямоугольник. Найти: ∠AOB, ∠BOC.

Решение:

В прямоугольнике \( ABCD \) диагонали \( AC \) и \( BD \) равны и пересекаются в точке \( O \), делятся пополам. Следовательно, \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \).

Так как \( AO = BO = CO = DO \), то \( \triangle BOC \) — равнобедренный, \( OB = OC \).

Угол \( ∠ OCB = ∠ CAD = 60^{\circ} \) (как накрест лежащие при параллельных \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).

В равнобедренном \( \triangle BOC \), \( ∠ OBC = ∠ OCB = 60^{\circ} \).

Следовательно, \( \triangle BOC \) — равносторонний, и \( ∠ BOC = 60^{\circ} \).

Углы \( ∠ AOB \) и \( ∠ BOC \) — смежные. Их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( ∠ AOB + ∠ BOC = 180^{\circ} \)

\( ∠ AOB + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠ AOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: ∠AOB = 120°, ∠BOC = 60°.