4. (1 балл) Решите уравнение: 1) 8x⁵ + 2x⁴ + 32x + 8 = 0; 2) (2a + 3)(5a - 1) - (a - 1)(6a + 5) - 4a² = 0.

Решение:

1) Решим уравнение 8x⁵ + 2x⁴ + 32x + 8 = 0:

1. Сгруппируем члены уравнения: \( (8x^5 + 2x^4) + (32x + 8) = 0 \)
2. Вынесем общие множители из каждой группы: \( 2x^4(4x + 1) + 8(4x + 1) = 0 \)
3. Вынесем общий множитель \( (4x + 1) \): \( (4x + 1)(2x^4 + 8) = 0 \)
4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( 4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4} \)
• \( 2x^4 + 8 = 0 \Rightarrow 2x^4 = -8 \Rightarrow x^4 = -4 \). Это уравнение не имеет действительных решений, так как степень чётная, а результат отрицательный.

2) Решим уравнение (2a + 3)(5a - 1) - (a - 1)(6a + 5) - 4a² = 0:

1. Раскроем первые скобки: \( (2a + 3)(5a - 1) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot (-1) + 3 \cdot 5a + 3 \cdot (-1) = 10a^2 - 2a + 15a - 3 = 10a^2 + 13a - 3 \)
2. Раскроем вторые скобки: \( (a - 1)(6a + 5) = a \cdot 6a + a \cdot 5 - 1 \cdot 6a - 1 \cdot 5 = 6a^2 + 5a - 6a - 5 = 6a^2 - a - 5 \)
3. Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение: \( (10a^2 + 13a - 3) - (6a^2 - a - 5) - 4a^2 = 0 \)
4. Раскроем вторую скобку, меняя знаки: \( 10a^2 + 13a - 3 - 6a^2 + a + 5 - 4a^2 = 0 \)
5. Приведем подобные члены: \( (10a^2 - 6a^2 - 4a^2) + (13a + a) + (-3 + 5) = 0 \) \( 0a^2 + 14a + 2 = 0 \) \( 14a + 2 = 0 \)
6. Решим полученное линейное уравнение: \( 14a = -2 \Rightarrow a = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} \)

Ответ: 1) x = -1/4; 2) a = -1/7