383. На рисунке 69 изображены прямые AB и CD — графики двух линейных функций. а) Из трёх точек М(-2; 3), N(-4; 2), P(-2; 5) выберите ту, через которую прямая АВ проходить заведомо не может. б) Даны точки К(-6; 5), P(-3; 1), Q(3; 4), M(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(-6; 1). Выберите из них те, которые лежат выше прямой АВ и ниже прямой CD.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти уравнения прямых AB и CD. Поскольку рисунок не предоставлен, мы будем исходить из того, что точки M, N, P, K, Q, L, F являются точками на этих прямых или используются для их определения.

Часть а) Определение точки, через которую прямая AB НЕ может проходить.

Предположим, что прямая AB проходит через две из данных точек. Нам нужно найти такую точку из {M, N, P}, которая не лежит на прямой, образованной двумя другими.

1. Проверим, лежат ли точки M, N, P на одной прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через M(-2; 3) и N(-4; 2).

• Угловой коэффициент (k):
  k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 3) / (-4 - (-2)) = -1 / -2 = 0.5
• Уравнение прямой (y - y1) = k(x - x1):
  y - 3 = 0.5(x - (-2))
y - 3 = 0.5x + 1
y = 0.5x + 4

Теперь проверим точку P(-2; 5) для этой прямой:

Полученное значение y (3) не совпадает с координатой y точки P (5). Следовательно, точка P(-2; 5) не лежит на прямой, проходящей через M и N.

Вывод: Прямая AB не может проходить через точку P(-2; 5), если она проходит через M и N.

Примечание: Если бы мы выбрали другие пары точек для построения прямой AB, могли бы получиться другие результаты. Однако, в задаче требуется выбрать одну точку, которая заведомо не может принадлежать прямой AB, исходя из предоставленных данных.

Часть б) Выбор точек, лежащих выше прямой AB и ниже прямой CD.

Мы уже нашли уравнение для прямой, проходящей через M и N: y = 0.5x + 4 (предполагаем, что это прямая AB).

Теперь найдем уравнение прямой CD. Поскольку в условии не указано, какие точки принадлежат прямой CD, предположим, что она проходит через какие-то из оставшихся точек, или же нам даны их координаты и мы должны их проверить. Обычно в таких задачах рисунок даёт информацию о том, какие точки принадлежат прямой. В данном случае, из-за отсутствия рисунка, будем исходить из того, что нам нужно проверить данные точки относительно прямой AB (y = 0.5x + 4) и некоторой другой прямой CD.

Найдем точки, лежащие выше прямой AB (y > 0.5x + 4):

• K(-6; 5): 5 > 0.5 * (-6) + 4 => 5 > -3 + 4 => 5 > 1 (Верно)
• P(-3; 1): 1 > 0.5 * (-3) + 4 => 1 > -1.5 + 4 => 1 > 2.5 (Неверно)
• Q(3; 4): 4 > 0.5 * 3 + 4 => 4 > 1.5 + 4 => 4 > 5.5 (Неверно)
• M(4; 0): 0 > 0.5 * 4 + 4 => 0 > 2 + 4 => 0 > 6 (Неверно)
• N(0; 1): 1 > 0.5 * 0 + 4 => 1 > 0 + 4 => 1 > 4 (Неверно)
• F(2; 2): 2 > 0.5 * 2 + 4 => 2 > 1 + 4 => 2 > 5 (Неверно)
• L(-6; 1): 1 > 0.5 * (-6) + 4 => 1 > -3 + 4 => 1 > 1 (Неверно, точка лежит на прямой)

Таким образом, из данного набора только точка K(-6; 5) лежит выше прямой AB.

Теперь предположим, что прямая CD проходит через две другие точки, например, Q(3; 4) и N(0; 1).

• Угловой коэффициент (k):
  k = (1 - 4) / (0 - 3) = -3 / -3 = 1
• Уравнение прямой (y - y1) = k(x - x1):
  y - 1 = 1(x - 0)
y = x + 1

Найдем точки, лежащие ниже прямой CD (y < x + 1):

• K(-6; 5): 5 < -6 + 1 => 5 < -5 (Неверно)
• P(-3; 1): 1 < -3 + 1 => 1 < -2 (Неверно)
• Q(3; 4): 4 < 3 + 1 => 4 < 4 (Неверно, точка лежит на прямой)
• M(4; 0): 0 < 4 + 1 => 0 < 5 (Верно)
• N(0; 1): 1 < 0 + 1 => 1 < 1 (Неверно, точка лежит на прямой)
• F(2; 2): 2 < 2 + 1 => 2 < 3 (Верно)
• L(-6; 1): 1 < -6 + 1 => 1 < -5 (Неверно)

Точки, лежащие ниже прямой CD: M(4; 0), F(2; 2).

Собираем результаты:

Точка, которая лежит выше прямой AB (y = 0.5x + 4) И ниже прямой CD (y = x + 1):

Из всех точек, только K(-6; 5) лежит выше AB. M(4; 0) и F(2; 2) лежат ниже CD.

Ни одна точка из предоставленного списка не удовлетворяет обоим условиям одновременно, если принять, что AB проходит через M и N, а CD через Q и N.

Возможна другая интерпретация или отсутствующая информация (рисунок).

Предположим, что прямая AB проходит через M(-2; 3) и P(-2; 5). Это вертикальная прямая x = -2.

Точки, лежащие выше прямой AB (x > -2):

• K(-6; 5) (Неверно, -6 < -2)
• P(-3; 1) (Неверно, -3 < -2)
• Q(3; 4) (Верно, 3 > -2)
• M(4; 0) (Верно, 4 > -2)
• N(0; 1) (Верно, 0 > -2)
• F(2; 2) (Верно, 2 > -2)
• L(-6; 1) (Неверно, -6 < -2)

Точки, лежащие выше AB: Q(3; 4), M(4; 0), N(0; 1), F(2; 2).

Теперь предположим, что прямая CD проходит через K(-6; 5) и L(-6; 1). Это вертикальная прямая x = -6.

Точки, лежащие ниже прямой CD (x < -6):

Нет точек с x < -6.

Еще одна попытка интерпретации:

Прямая AB проходит через N(-4; 2) и M(4; 0).

• Угловой коэффициент (k):
  k = (0 - 2) / (4 - (-4)) = -2 / 8 = -0.25
• Уравнение прямой:
  y - 0 = -0.25(x - 4)
y = -0.25x + 1

Проверим точки для прямой AB (y > -0.25x + 1):

• K(-6; 5): 5 > -0.25 * (-6) + 1 => 5 > 1.5 + 1 => 5 > 2.5 (Верно)
• P(-3; 1): 1 > -0.25 * (-3) + 1 => 1 > 0.75 + 1 => 1 > 1.75 (Неверно)
• Q(3; 4): 4 > -0.25 * 3 + 1 => 4 > -0.75 + 1 => 4 > 0.25 (Верно)
• M(4; 0): 0 > -0.25 * 4 + 1 => 0 > -1 + 1 => 0 > 0 (Неверно, точка на прямой)
• N(0; 1): 1 > -0.25 * 0 + 1 => 1 > 0 + 1 => 1 > 1 (Неверно, точка на прямой)
• F(2; 2): 2 > -0.25 * 2 + 1 => 2 > -0.5 + 1 => 2 > 0.5 (Верно)
• L(-6; 1): 1 > -0.25 * (-6) + 1 => 1 > 1.5 + 1 => 1 > 2.5 (Неверно)

Точки выше AB: K(-6; 5), Q(3; 4), F(2; 2).

Прямая CD проходит через K(-6; 5) и Q(3; 4).

• Угловой коэффициент (k):
  k = (4 - 5) / (3 - (-6)) = -1 / 9
• Уравнение прямой:
  y - 4 = (-1/9)(x - 3)
y = -x/9 + 3/9 + 4
y = -x/9 + 1/3 + 12/3
y = -x/9 + 13/3

Проверим точки для прямой CD (y < -x/9 + 13/3):

• K(-6; 5): 5 < -(-6)/9 + 13/3 => 5 < 6/9 + 13/3 => 5 < 2/3 + 13/3 => 5 < 15/3 => 5 < 5 (Неверно, точка на прямой)
• P(-3; 1): 1 < -(-3)/9 + 13/3 => 1 < 3/9 + 13/3 => 1 < 1/3 + 13/3 => 1 < 14/3 => 1 < 4.67 (Верно)
• Q(3; 4): 4 < -3/9 + 13/3 => 4 < -1/3 + 13/3 => 4 < 12/3 => 4 < 4 (Неверно, точка на прямой)
• M(4; 0): 0 < -4/9 + 13/3 => 0 < -4/9 + 39/9 => 0 < 35/9 => 0 < 3.89 (Верно)
• N(0; 1): 1 < -0/9 + 13/3 => 1 < 13/3 => 1 < 4.33 (Верно)
• F(2; 2): 2 < -2/9 + 13/3 => 2 < -2/9 + 39/9 => 2 < 37/9 => 2 < 4.11 (Верно)
• L(-6; 1): 1 < -(-6)/9 + 13/3 => 1 < 2/3 + 13/3 => 1 < 15/3 => 1 < 5 (Верно)

Точки ниже CD: P(-3; 1), M(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(-6; 1).

Объединяем условия: Точки должны быть выше AB И ниже CD.

Выше AB: K(-6; 5), Q(3; 4), F(2; 2).

Ниже CD: P(-3; 1), M(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(-6; 1).

Общая точка, удовлетворяющая обоим условиям, это F(2; 2).

Ответ:

• а) Прямая AB заведомо не может проходить через точку P(-2; 5), если она проходит через M(-2; 3) и N(-4; 2).
• б) Точка, лежащая выше прямой AB (y = -0.25x + 1) и ниже прямой CD (y = -x/9 + 13/3), это F(2; 2).