38. Биссектриса острого угла параллелограмма делит сторону на отрезки длиной 7 см и 10 см, начиная от вершины тупого угла. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть биссектриса острого угла параллелограмма с вершинами A, B, C, D (угол A — острый) пересекает сторону CD в точке E. Биссектриса AE делит сторону CD на отрезки DE и EC.

По условию, биссектриса начинается от вершины тупого угла. Предположим, что это угол D. Тогда биссектриса угла D делит противоположную сторону AB. Это противоречит условию, что биссектриса острого угла делит сторону.

Рассмотрим биссектрису острого угла A. Она делит сторону CD на отрезки DE и EC. Начало отрезков — от вершины тупого угла, то есть от C. Значит, биссектриса делит сторону CD на отрезки CE = 7 см и ED = 10 см, или наоборот. Но биссектриса острого угла параллелограмма, выходя из вершины угла, пересекает противоположную сторону. Если биссектриса угла A делит сторону CD, то длина стороны CD = CE + ED.

Согласно свойству биссектрисы в параллелограмме, если биссектриса острого угла параллелограмма пересекает противолежащую сторону, то она отсекает равнобедренный треугольник. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке E. Тогда \( \angle DAE = \angle BAE \).

Так как AB || CD, то \( \angle BAE = \angle AEC \) (как накрест лежащие углы).

Следовательно, \( \angle DAE = \angle AEC \). Треугольник ADE является равнобедренным с основанием AE, то есть AD = DE.

Если биссектриса угла A делит сторону CD на отрезки 7 см и 10 см, начиная от вершины тупого угла (предположим, это точка C), то либо CE = 7, ED = 10, либо CE = 10, ED = 7. Но точка E находится на стороне CD.

Если биссектриса выходит из острого угла (например, A) и делит сторону CD, то отрезки, на которые делится сторона CD, равны 7 и 10. Поскольку AD = DE, то сторона CD = AD + 7 или CD = AD + 10. Это невозможно, так как CD = AB.

Рассмотрим случай, когда биссектриса острого угла (например A) делит сторону CD. Тогда AD = DE. Сторона CD = AB. Отрезки на стороне CD: 7 см и 10 см. Так как биссектриса выходит из вершины острого угла, то она должна отсечь равнобедренный треугольник. Следовательно, одна из сторон (AD или BC) равна одному из отрезков. Предположим, AD = 7 см. Тогда DE = 7 см. Сторона CD = CE + ED. Если ED = 7, то CE = 10. Тогда CD = 10 + 7 = 17 см. Параллелограмм имеет стороны AD = 7 см и CD = 17 см. Периметр = 2 * (7 + 17) = 2 * 24 = 48 см.

Другой вариант: AD = 10 см. Тогда DE = 10 см. Сторона CD = CE + ED. Если ED = 10, то CE = 7. Тогда CD = 7 + 10 = 17 см. Параллелограмм имеет стороны AD = 10 см и CD = 17 см. Периметр = 2 * (10 + 17) = 2 * 27 = 54 см.

Однако, условие гласит: «начиная от вершины тупого угла». Это значит, что биссектриса делит сторону CD. Если биссектриса острого угла A делит сторону CD, то отрезки начинаются от вершины C или D. Пусть биссектриса угла A делит сторону CD. Тогда AD = DE. Сторона CD = AB. Отрезки, на которые делится сторона CD, равны 7 см и 10 см. Если DE = 7 см, то AD = 7 см. Тогда CD = CE + ED = 10 + 7 = 17 см. Стороны параллелограмма: 7 см и 17 см. Периметр = 2 * (7 + 17) = 48 см.

Если DE = 10 см, то AD = 10 см. Тогда CD = CE + ED = 7 + 10 = 17 см. Стороны параллелограмма: 10 см и 17 см. Периметр = 2 * (10 + 17) = 54 см.

Ответ: а) 48 см; б) 54 см.