355 Даны две независимые случайные величины Х и У и их распределения: X ~ (-1, 0.5; 1, 0.5), Y ~ (0, 0.4; 4, 0.6). Постройте распределение случайной величины: a) X + Y; б) XY.

Решение:

Даны две независимые случайные величины:

• \( X \) принимает значения -1 с вероятностью 0.5 и 1 с вероятностью 0.5.
• \( Y \) принимает значения 0 с вероятностью 0.4 и 4 с вероятностью 0.6.

а) Распределение случайной величины Z = X + Y

Возможные значения Z = X + Y:

• \( X=-1, Y=0 \) → \( Z = -1 + 0 = -1 \). Вероятность: \( P(X=-1, Y=0) = P(X=-1) \cdot P(Y=0) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \)
• \( X=-1, Y=4 \) → \( Z = -1 + 4 = 3 \). Вероятность: \( P(X=-1, Y=4) = P(X=-1) \cdot P(Y=4) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3 \)
• \( X=1, Y=0 \) → \( Z = 1 + 0 = 1 \). Вероятность: \( P(X=1, Y=0) = P(X=1) \cdot P(Y=0) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \)
• \( X=1, Y=4 \) → \( Z = 1 + 4 = 5 \). Вероятность: \( P(X=1, Y=4) = P(X=1) \cdot P(Y=4) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3 \)

Распределение Z = X + Y:

Проверка: \( 0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.3 = 1.0 \).

б) Распределение случайной величины W = XY

Возможные значения W = XY:

• \( X=-1, Y=0 \) → \( W = -1 \cdot 0 = 0 \). Вероятность: \( P(X=-1, Y=0) = P(X=-1) \cdot P(Y=0) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \)
• \( X=-1, Y=4 \) → \( W = -1 \cdot 4 = -4 \). Вероятность: \( P(X=-1, Y=4) = P(X=-1) \cdot P(Y=4) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3 \)
• \( X=1, Y=0 \) → \( W = 1 \cdot 0 = 0 \). Вероятность: \( P(X=1, Y=0) = P(X=1) \cdot P(Y=0) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \)
• \( X=1, Y=4 \) → \( W = 1 \cdot 4 = 4 \). Вероятность: \( P(X=1, Y=4) = P(X=1) \cdot P(Y=4) = 0.5 \cdot 0.6 = 0.3 \)

Объединим одинаковые значения W:

• \( W=0 \) встречается в двух случаях: \( P(W=0) = 0.2 + 0.2 = 0.4 \)
• \( W=-4 \) с вероятностью 0.3
• \( W=4 \) с вероятностью 0.3

Распределение W = XY:

Проверка: \( 0.3 + 0.4 + 0.3 = 1.0 \).

Ответ: а) Распределение X+Y: Z {-1, 1, 3, 5} с вероятностями {0.2, 0.2, 0.3, 0.3}. б) Распределение XY: W {-4, 0, 4} с вероятностями {0.3, 0.4, 0.3}.