34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенства: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$; в) $\overline A\setminus B=\overline{A\cup B}$; г) $A\setminus\overline B=A\cup B$; д) $A\setminus B=A\cap\overline B$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенства: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим области диаграммы для произвольных множеств $A$ и $B$; дополнения берутся относительно универсального множества.

а) Равенство неверно в общем случае: левая часть — область только $A$, правая — область только $B$. Например, если $A=\{1\}$, $B=\varnothing$, то части не равны.
б) Равенство верно: дополнение области «в $A$, но не в $B$» состоит из области вне $A$ и области $B$, то есть $\overline A\cup B$.
в) Равенство верно: $\overline A\setminus B=\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}$ по закону де Моргана.
г) Равенство неверно: $A\setminus\overline B=A\cap B$, а не $A\cup B$. Например, при $A=\{1\}$, $B=\varnothing$ левая часть пуста, правая равна $\{1\}$.
д) Равенство верно по определению разности множеств: $A\setminus B=A\cap\overline B$.

Ответ: верны б), в), д); а), г) неверны.