35. Чему равна скорость фотоэлектронов, вырываемых из металлической пластины светом с длиной волны 300нм, если красная граница фотоэффекта 0,54мкм?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

\( h\nu = A_{вых} + E_{кин} \)

где \( h\nu \) — энергия фотона, \( A_{вых} \) — работа выхода, \( E_{кин} \) — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны \( λ \) соотношением \( h\nu = \frac{hc}{λ} \).

Работа выхода связана с красной границей \( λ_0 \) соотношением \( A_{вых} = \frac{hc}{λ_0} \).

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна \( E_{кин} = \frac{mv^2}{2} \), где \( m \) — масса электрона, \( v \) — его скорость.

Подставим известные выражения в уравнение Эйнштейна:

\[ \frac{hc}{λ} = \frac{hc}{λ_0} + \frac{mv^2}{2} \]

Выразим скорость \( v \):

\[ \frac{mv^2}{2} = hc \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ_0} \right) \]

\[ v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ_0} \right)} \]

Дано:
\( λ = 300 \text{ нм} = 300 \times 10^{-9} \text{ м} \)
\( λ_0 = 0.54 \text{ мкм} = 0.54 \times 10^{-6} \text{ м} = 540 \times 10^{-9} \text{ м} \)
\( h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} · \text{с} \)
\( c = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \)
\( m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ кг} \)

Расчёты:

Сначала найдём значение \( \frac{1}{λ} - \frac{1}{λ_0} \):

\[ \frac{1}{300 \times 10^{-9}} - \frac{1}{540 \times 10^{-9}} = \frac{1}{10^{-9}} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{540} \right) = \frac{1}{10^{-9}} \left( \frac{540 - 300}{300 \times 540} \right) = \frac{1}{10^{-9}} \left( \frac{240}{162000} \right) \approx \frac{1}{10^{-9}} \times 0.00148 \text{ м}^{-1} \approx 1.48 \times 10^6 \text{ м}^{-1} \]

Теперь подставим всё в формулу скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{2 \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{9.1 \times 10^{-31}} \times (1.48 \times 10^6)} \]

\[ v = \sqrt{\frac{39.756 \times 10^{-26}}{9.1 \times 10^{-31}} \times 1.48 \times 10^6} \approx \sqrt{4.37 \times 10^5 \times 1.48 \times 10^6} \approx \sqrt{6.47 \times 10^{11}} \approx 2.54 \times 10^5 \text{ м/с} \]

Ответ: Скорость фотоэлектронов примерно равна 2.54 × 10⁵ м/с.