34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$; в) $\overline A\setminus B=A\cup\overline B$; г) $A\setminus\overline B=A\cup B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap\overline B$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б)…$ Фото задания

34. С помощью диаграмм Эйлера — Венна докажите или опровергните равенство: а) $A\setminus B=B\setminus A$; б) $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$; в) $\overline A\setminus B=A\cup\overline B$; г) $A\setminus\overline B=A\cup B$; д) $A\setminus\overline B=A\cap\overline B$.

Accepted Answer

а) Равенство неверно: множества $A\setminus B$ и $B\setminus A$ — разные области диаграммы. Например, если $A=\{1\}$, $B=\varnothing$, то $A\setminus B=\{1\}$, а $B\setminus A=\varnothing$.

б) Равенство верно. Элемент не принадлежит $A\setminus B$, если он либо не принадлежит $A$, либо принадлежит $B$. Поэтому $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B$.

в) Равенство неверно. Например, пусть универсальное множество $U=\{1\}$, $A=\{1\}$, $B=\varnothing$. Тогда $\overline A\setminus B=\varnothing$, но $A\cup\overline B=\{1\}$.

г) Равенство неверно. По определению разности $A\setminus\overline B=A\cap B$, а это не всегда равно $A\cup B$. Например, при $A=\{1\}$, $B=\{2\}$ левая часть пуста, а правая равна $\{1,2\}$.

д) Равенство неверно: $A\setminus\overline B=A\cap B$, тогда как справа указано $A\cap\overline B$. Например, при универсальном множестве $U=\{1\}$ и $A=B=\{1\}$ левая часть равна $\{1\}$, а правая пуста.

Ответ: верно только равенство б).