32. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 33. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD, описанная около окружности.
• Периметр P = 100.
• Большая боковая сторона (например, CD) = 33.

Найти: Радиус окружности (r).

Решение:

Для четырехугольника, описанного около окружности, выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна полупериметру.

Так как трапеция прямоугольная, у нее есть прямой угол. Пусть углы A и B прямые.

Тогда AB || CD и AD ⊥ AB, BC ⊥ AB.

В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, равна диаметру вписанной окружности.

В нашем случае, большая боковая сторона CD = 33. Это может быть боковая сторона, которая не является высотой. Пусть AD = h, а BC - большая боковая сторона, тогда BC = 33.

Сумма противоположных сторон равна периметру: AB + CD = BC + AD.

Так как ABCD - трапеция, описанная около окружности, то выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна сумме двух других сторон. Но для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон.

P = AB + BC + CD + AD = 100

Свойство описанного четырехугольника: AB + CD = BC + AD.

Так как P = 100, то AB + CD = BC + AD = 100 / 2 = 50.

Пусть основаниями будут AB и CD, а боковыми сторонами AD и BC.

Если трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (это высота).

Пусть AD - высота, тогда AD = h. BC - боковая сторона.

В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований.

P = (a + b) + (c + d)

где a, b - основания, c, d - боковые стороны.

Для описанного четырехугольника: a + c = b + d.

P = a + b + c + d = 2(a + c) = 2(b + d) = 100.

Значит, a + c = 50 и b + d = 50.

Пусть основания AB и CD, а боковые стороны AD и BC.

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой. Пусть AD = h.

Если AD = h, то BC - другая боковая сторона.

Случай 1: Большая боковая сторона - это наклонная сторона.

Пусть BC = 33. Тогда AD = 50 - 33 = 17.

В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, радиус вписанной окружности равен половине высоты, если высота является одной из сторон. В данном случае, AD = h = 17.

Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции, если она является одной из сторон.

Значит, диаметр d = AD = 17.

Радиус r = d / 2 = 17 / 2 = 8.5.

Случай 2: Большая боковая сторона - это высота.

Пусть AD = 33. Тогда BC = 50 - 33 = 17. Это противоречие, так как BC должна быть большей стороной.

Проверка:

Если AD = 17 и BC = 33, то основания AB + CD = 50.

В прямоугольной трапеции, чтобы найти основания, нужно опустить высоту из тупого угла на большее основание. Если BC - наклонная боковая сторона, а AD - высота, то проведем из B перпендикуляр BE к CD. Тогда ABED - прямоугольник, AD = BE = 17, AB = DE.

CD = DE + EC = AB + EC.

В прямоугольном треугольнике BCE: BC² = BE² + EC².

33² = 17² + EC².

1089 = 289 + EC².

EC² = 1089 - 289 = 800.

EC = √800 = 20√2.

CD = AB + 20√2.

AB + CD = AB + (AB + 20√2) = 2AB + 20√2 = 50.

2AB = 50 - 20√2.

AB = 25 - 10√2.

CD = 25 - 10√2 + 20√2 = 25 + 10√2.

AB + CD = (25 - 10√2) + (25 + 10√2) = 50.

BC + AD = 33 + 17 = 50.

Все сходится.

Радиус вписанной окружности в прямоугольную трапецию равен половине высоты, если эта высота является одной из сторон.

r = AD / 2 = 17 / 2 = 8.5.

Ответ: 8.5