3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: а) 4x + y = 6, 8x + 2y = 12; б) 4x + y = 6, 12x - 3y = 18; в) 4x + y = 6, 2x + 1/2y = 0.

Решение:

Чтобы выяснить, имеет ли система решений и сколько их, сравним коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Система имеет вид:

\( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \)

Система имеет:

• Одно решение: если \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
• Бесконечно много решений: если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
• Нет решений: если \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)

а) Система:

\( \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases} \)

\( a_1 = 4, b_1 = 1, c_1 = 6 \)

\( a_2 = 8, b_2 = 2, c_2 = 12 \)

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

Так как \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), система имеет бесконечно много решений.

б) Система:

\( \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases} \)

\( a_1 = 4, b_1 = 1, c_1 = 6 \)

\( a_2 = 12, b_2 = -3, c_2 = 18 \)

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \)

Так как \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), система имеет одно решение.

в) Система:

\( \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 0 \end{cases} \)

\( a_1 = 4, b_1 = 1, c_1 = 6 \)

\( a_2 = 2, b_2 = \frac{1}{2}, c_2 = 0 \)

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2 \)

\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{0} \) - деление на ноль, не определено.

Так как \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) и \( c_2 = 0 \), при \( c_1 \neq 0 \), система имеет нет решений.

Ответ: а) бесконечно много решений; б) одно решение; в) нет решений.