№ 3. Вычислить скалярное произведение векторов \(\vec m\) и \(\vec n\), если \(\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c\), \(\vec n=2\vec a-\vec b\), \(|\vec a|=2\), \(|\vec b|=3\), угол между \(\vec a\) и \(\vec b\) равен 60°, \(\vec c\perp\vec a\), \(\vec c\perp\vec b\).

Так как \(\vec c\) перпендикулярен и \(\vec a\), и \(\vec b\), его скалярное произведение с \(2\vec a-\vec b\) равно нулю. Следовательно, \(\vec m\cdot\vec n=(\vec a+2\vec b)\cdot(2\vec a-\vec b)\).

Сначала найдём \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=2\cdot3\cdot\frac12=3\). Раскроем скалярное произведение: \(\vec m\cdot\vec n=2|\vec a|^2-\vec a\cdot\vec b+4\vec a\cdot\vec b-2|\vec b|^2\).

Подставляем значения: \(2\cdot4-3+4\cdot3-2\cdot9=8-3+12-18=-1\).

Ответ: \(\vec m\cdot\vec n=-1\).