3. Выберите функцию, график которой симметричен относительно начала координат:

Привет! Давай разберем, какая из функций обладает нужной симметрией.

Функция называется нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат. Это значит, что для любого x из области определения выполняется условие: f(-x) = -f(x).

Давай проверим каждую функцию:

1. y = tg(π/2 - |x|): Заметим, что tg(π/2 - α) = ctg(α). Значит, y = ctg(|x|). Подставим -x: y = ctg(|-x|) = ctg(|x|). Это f(-x) = f(x), значит, функция четная (симметрична относительно оси ординат), а не нечетная.
2. y = -cos(2x): Подставим -x: y = -cos(2*(-x)) = -cos(-2x). Поскольку cos — четная функция (cos(-α) = cos(α)), то y = -cos(2x). Это f(-x) = f(x), значит, функция четная.
3. y = ctg(x + π/4): Подставим -x: y = ctg(-x + π/4) = ctg(-(x - π/4)). Поскольку ctg — нечетная функция (ctg(-α) = -ctg(α)), то y = -ctg(x - π/4). Это не равно -f(x) = -ctg(x + π/4). Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. y = -sin(x/3): Подставим -x: y = -sin((-x)/3) = -sin(-x/3). Поскольку sin — нечетная функция (sin(-α) = -sin(α)), то y = -(-sin(x/3)) = sin(x/3). Это не равно -f(x) = -(-sin(x/3)) = sin(x/3). Ой, погоди! Давай проверим еще раз. f(x) = -sin(x/3). Тогда -f(x) = -(-sin(x/3)) = sin(x/3). А f(-x) = -sin(-x/3) = -(-sin(x/3)) = sin(x/3). Получается, f(-x) = -f(x). Значит, эта функция нечетная!
5. y = cos(π + 4x): Используем формулу косинуса суммы: cos(π + α) = -cos(α). Значит, y = -cos(4x). Подставим -x: y = -cos(4*(-x)) = -cos(-4x). Поскольку cos — четная функция, то y = -cos(4x). Это f(-x) = f(x), значит, функция четная.

Итак, график функции y = -sin(x/3) симметричен относительно начала координат.

Ответ: 4) y = -sin(x/3)