3. В угол С величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник CAOB. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны: CA = CB. Также OA = OB (радиусы).

Углы \( \angle CAO \) и \( \angle CBO \) равны 90°, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Сумма углов четырёхугольника CAOB:

• \( \angle C + \angle CAO + \angle AOB + \angle CBO = 360^{\circ} \)
• \( 83^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)
• \( 263^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \)
• \( \angle AOB = 360^{\circ} - 263^{\circ} \)
• \( \angle AOB = 97^{\circ} \)

Ответ: 97°.