3. В случайном эксперименте игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет:

Пояснение:

Игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При двух бросках всего возможно $$ 6 imes 6 = 36 $$ исходов.

а) меньше 5 очков, если известно, что в первый раз выпало чётное число очков;

Дано: Первый бросок - чётное число (2, 4, 6).

Найти: Вероятность того, что сумма меньше 5.

Рассмотрим исходы, где первый бросок - чётное число:

• Если первый бросок - 2: сумма меньше 5, если второй бросок - 1, 2. (2,1), (2,2)
• Если первый бросок - 4: сумма меньше 5, если второй бросок - 0 (невозможно).
• Если первый бросок - 6: сумма меньше 5, если второй бросок - (-1) (невозможно).

Таким образом, благоприятные исходы, где первый бросок чётный и сумма меньше 5: (2,1), (2,2). Всего 2 исхода.

Общее число исходов, где первый бросок чётный: 3 (возможных значения первого броска) * 6 (возможных значений второго броска) = 18 исходов.

Вероятность: $$ P( ext{сумма < 5 | первый - чётное}) = rac{ ext{количество благоприятных исходов}}{ ext{общее число исходов с чётным первым броском}} = rac{2}{18} = rac{1}{9} $$.

б) больше 8 очков, если известно, что во второй раз выпало на 2 очка больше, чем в первый.

Дано: Второй бросок = Первый бросок + 2.

Найти: Вероятность того, что сумма больше 8.

Определим исходы, где второй бросок на 2 больше первого:

• 1-й бросок - 1, 2-й бросок - 3. Сумма = 1 + 3 = 4.
• 1-й бросок - 2, 2-й бросок - 4. Сумма = 2 + 4 = 6.
• 1-й бросок - 3, 2-й бросок - 5. Сумма = 3 + 5 = 8.
• 1-й бросок - 4, 2-й бросок - 6. Сумма = 4 + 6 = 10.
• 1-й бросок - 5, 2-й бросок - 7 (невозможно).
• 1-й бросок - 6, 2-й бросок - 8 (невозможно).

Итак, исходы, удовлетворяющие условию, что второй бросок на 2 больше первого: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6). Всего 4 таких исхода.

Теперь найдём, в каких из этих исходов сумма больше 8:

• (1,3) - сумма 4 (не больше 8)
• (2,4) - сумма 6 (не больше 8)
• (3,5) - сумма 8 (не больше 8)
• (4,6) - сумма 10 (больше 8)

Только один исход (4,6) удовлетворяет условию «сумма больше 8».

Условная вероятность: $$ P( ext{сумма > 8 | второй = первый + 2}) = rac{ ext{количество благоприятных исходов}}{ ext{общее число исходов, где второй = первый + 2}} = rac{1}{4} $$.

Ответ: а) 1/9, б) 1/4