3 В равностороннем треугольнике АВС медианы ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите ∠AOK.

Решение:

В равностороннем треугольнике \( \triangle ABC \) медианы \( BK \) и \( AM \) пересекаются в точке \( O \). Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Медианы в равностороннем треугольнике также являются биссектрисами и высотами.

Углы равностороннего треугольника равны \( 60^{\circ} \) каждый:

\( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^{\circ} \).

Так как \( AM \) — медиана, проведённая из вершины \( A \) к стороне \( BC \), и \( \triangle ABC \) равносторонний, то \( AM \) является также биссектрисой \( \angle BAC \).

Следовательно, \( \angle BAM = \angle MAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Точка \( O \) лежит на медиане \( AM \), поэтому \( \angle KAO = \angle MAC = 30^{\circ} \).

Также, так как \( BK \) — медиана, проведённая из вершины \( B \) к стороне \( AC \), и \( \triangle ABC \) равносторонний, то \( BK \) является также биссектрисой \( \angle ABC \).

\( \angle ABK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle AOK \). Мы знаем, что \( \angle KAO = 30^{\circ} \). Угол \( \angle AKO \) является частью \( \angle BKC \). Поскольку \( BK \) — высота, \( BK \) перпендикулярна \( AC \), значит \( \angle AKB = 90^{\circ} \). В \( \triangle AOK \) угол \( \angle AKO \) равен \( 90^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle AOK \) равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle AOK + \angle KAO + \angle AKO = 180^{\circ} \)

\( \angle AOK + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOK = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.