3 Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

Дан равнобедренная трапеция ABCD. Диагональ AC образует с основанием BC угол \( \angle ACB = 30^{\circ} \) и с боковой стороной CD угол \( \angle ACD = 105^{\circ} \).

Так как ABCD — трапеция, то BC || AD. Следовательно, \( \angle CAD = \angle ACB = 30^{\circ} \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Угол между диагоналями и боковой стороной равен \( \angle ACD = 105^{\circ} \).

В треугольнике ACD, сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle ADC + \angle CAD + \angle ACD = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC + 30^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \)

Так как трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны. Угол при нижнем основании AD равен \( \angle ADC = 45^{\circ} \).

Угол при верхнем основании BC равен \( \angle BCD \).

\( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 30^{\circ} + 105^{\circ} = 135^{\circ} \).

Угол при верхнем основании AB равен \( \angle ABC \).

\( \angle ABC = \angle BCD = 135^{\circ} \).

Углы трапеции равны \( 45^{\circ} \) и \( 135^{\circ} \).

Меньший угол равен \( 45^{\circ} \).

Ответ: 45°.