3. * В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам: половина основания равна \(12:2=6\) см. Тогда боковая сторона равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) см.

Обозначим вершины основания A и B, вершину напротив основания — C. Проведём медиану из B к боковой стороне AC; её длина по формуле медианы к стороне AC:

\(m=\frac12\sqrt{2\cdot AB^2+2\cdot BC^2-AC^2}\).

Подставим \(AB=12\) см и \(BC=AC=10\) см:

\(m=\frac12\sqrt{2\cdot12^2+2\cdot10^2-10^2}=\frac12\sqrt{388}=\sqrt{97}\) см.

Ответ: \(\sqrt{97}\) см (примерно 9,85 см).