3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Найдите основания трапеции и её площадь.

Решение:

В прямоугольной трапеции один из углов равен \( 135^{\circ} \). В прямоугольной трапеции есть два прямых угла (90°) и два других угла. Если один из углов \( 135^{\circ} \), то это угол при большем основании. Другой непрямой угол будет \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Средняя линия трапеции равна \( m = 18 \) см. Формула средней линии: \( m = \frac{a+b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания.

\( 18 = \frac{a+b}{2} \) \(\implies\) \( a+b = 36 \) см.

Основания относятся как 1 : 8. Пусть меньшее основание \( a = x \), тогда большее основание \( b = 8x \).

Подставим в уравнение суммы оснований:

\( x + 8x = 36 \)

\( 9x = 36 \)

\( x = 4 \) см.

Тогда меньшее основание \( a = 4 \) см, а большее основание \( b = 8 \cdot 4 = 32 \) см.

Чтобы найти площадь, нам нужна высота трапеции. В прямоугольной трапеции высота равна одному из боковых сторон, прилежащих к прямому углу. В данном случае, высота трапеции равна меньшему основанию \( a \), если провести высоту из вершины угла \( 45^{\circ} \).

Однако, если мы проведем высоту из вершины угла \( 45^{\circ} \) к большему основанию, то получим прямоугольный треугольник с углом \( 45^{\circ} \). Острый угол при основании равен \( 45^{\circ} \), значит, другой острый угол также \( 45^{\circ} \), и этот треугольник равнобедренный. Разница между основаниями равна высоте: \( h = b - a = 32 - 4 = 28 \) см. Это не совпадает с меньшим основанием. Значит, высота трапеции равна меньшему основанию, если угол \( 45^{\circ} \) прилежал бы к боковой стороне. Но тут угол \( 135^{\circ} \).

Проведем высоту из вершины угла \( 135^{\circ} \) к большему основанию. Это будет невозможно. Значит, проведем высоту из вершины угла \( 45^{\circ} \) к большему основанию. Тогда отрезок, который отсекает высота на большем основании, равен разности оснований: \( 32 - 4 = 28 \) см. Угол при этом будет \( 45^{\circ} \).

Давайте переосмыслим. В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой. Пусть \( a = 4 \) см и \( b = 32 \) см. Тогда высота \( h = a = 4 \) см.

Проверим углы. Если \( h = 4 \) и \( b-a = 28 \), то \( \tan(\text{угол}) = \frac{4}{28} = \frac{1}{7} \). Это не \( 45^{\circ} \) и не \( 135^{\circ} \).

Возвращаемся к условию: один из углов равен \( 135^{\circ} \). Это угол при боковой стороне. Значит, другой боковой угол равен \( 90^{\circ} \).

Пусть \( a = 4 \) см (меньшее основание) и \( b = 32 \) см (большее основание). Высота трапеции \( h \) равна одной из боковых сторон. Если угол равен \( 135^{\circ} \), то он не может быть при боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Значит, \( 135^{\circ} \) — это угол при большем основании. Тогда второй угол при большем основании равен \( 90^{\circ} \).

Проведем высоту \( h \) из вершины тупого угла \( 135^{\circ} \) к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, где один катет — высота \( h \), другой катет — отрезок \( x \) на большем основании, а гипотенуза — боковая сторона, не перпендикулярная основаниям. Угол при большем основании будет \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Значит, \( x = h \) (т.к. угол \( 45^{\circ} \)).

Отрезок \( x \) равен разности оснований: \( x = b - a = 32 - 4 = 28 \) см.

Следовательно, \( h = x = 28 \) см.

Площадь трапеции находится по формуле: \( S = m \cdot h \), где \( m \) — средняя линия.

\( S = 18 \text{ см} \cdot 28 \text{ см} = 504 \) см².

Ответ: Основания трапеции равны 4 см и 32 см. Площадь трапеции равна 504 см².