1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC высота BD, проведенная к гипотенузе AC, обладает свойством: \( BD^2 = AD \cdot DC \). Нам дано \( BD = 24 \) см и \( DC = 18 \) см. Найдем \( AD \):

\( 24^2 = AD \cdot 18 \)

\( 576 = AD \cdot 18 \)

\( AD = \frac{576}{18} = 32 \) см.

Теперь найдем гипотенузу AC:

\( AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \) см.

Найдем катет AB по теореме Пифагора в треугольнике ABD:

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( AB^2 = 32^2 + 24^2 \)

\( AB^2 = 1024 + 576 \)

\( AB^2 = 1600 \)

\( AB = \sqrt{1600} = 40 \) см.

Теперь найдем \( \cos A \). В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos A = \frac{AD}{AB} \)

\( \cos A = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8 \)

Ответ: AB = 40 см, cos A = 0.8.