3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН. АС=8. Найдите длину отрезка АН, если ∠ABC = 30°.

Задание 3. Высота в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник АВС.
• \( \angle C = 90^\circ \).
• Высота СН.
• \( AC = 8 \).
• \( \angle ABC = 30^\circ \).

Найти: Длину отрезка АН.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Сумма острых углов равна \( 90^\circ \). Так как \( \angle ABC = 30^\circ \), то \( \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС (так как СН — высота, то \( \angle AHC = 90^\circ \)).
3. В этом треугольнике нам известен катет \( AC = 8 \) (который является гипотенузой для треугольника АНС) и угол \( \angle HAC = \angle BAC = 60^\circ \).
4. Нам нужно найти катет АН, который прилежит к углу \( 60^\circ \).
5. Используем тригонометрическую функцию косинус: \( \cos(\angle HAC) = \frac{AH}{AC} \).
6. Подставим известные значения: \( \cos(60^\circ) = \frac{AH}{8} \).
7. Значение \( \cos(60^\circ) = 0.5 \) (или \( \frac{1}{2} \)).
8. Получаем уравнение: \( 0.5 = \frac{AH}{8} \).
9. Решим уравнение относительно АН: \( AH = 0.5 \cdot 8 \).
10. \( AH = 4 \).

Ответ: Длина отрезка АН равна 4.