3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH, причем CH = 8 см, ∠B = 45°. Найдите гипотенузу AB.

Краткое пояснение:

• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника.
• В данном случае, треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным, так как ∠B = 45°, а ∠C = 90°, следовательно ∠A = 90° - 45° = 45°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠ C = 90°. По условию, ∠ B = 45°.
2. Шаг 2: Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем ∠ A: ∠ A = 180° - 90° - 45° = 45°.
3. Шаг 3: Так как ∠ A = ∠ B = 45°, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, катеты AC и BC равны.
4. Шаг 4: Высота CH проведена из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также медианой и биссектрисой.
5. Шаг 5: Следовательно, CH делит гипотенузу AB пополам, и H является серединой AB.
6. Шаг 6: Также, CH является медианой, поэтому AH = BH = CH.
7. Шаг 7: По условию, CH = 8 см.
8. Шаг 8: Следовательно, AH = BH = 8 см.
9. Шаг 9: Гипотенуза AB = AH + BH = 8 см + 8 см = 16 см.
10. Альтернативный путь: Рассматриваем прямоугольный треугольник CHB. ∠ CHB = 90°, ∠ B = 45°. Тогда ∠ HCB = 180° - 90° - 45° = 45°. Треугольник CHB — равнобедренный, значит CH = HB = 8 см. Гипотенуза AB = 2 * HB = 2 * 8 см = 16 см.

Ответ: Гипотенуза AB равна 16 см.