3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: AB || CD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
2. По условию, \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные. Это означает, что \( AB = BC \) и \( AD = DC \).
3. Также по условию, \( \angle B = \angle D = 90^{\circ} \).
4. Общая сторона \( AC \) в обоих треугольниках.
5. По двум катетам ( \( AB = BC \) и \( AD = DC \) ) и гипотенузе ( \( AC \) ), треугольники не равны.
6. Рассмотрим равенство треугольников ABC и ADC. Мы знаем, что \( AC \) — общая гипотенуза.
7. Так как \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные, то \( AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} \) и \( AD = DC = \frac{AC}{\sqrt{2}} \).
8. Следовательно, \( AB = BC = AD = DC \).
9. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°, то есть \( \angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ} \) и \( \angle DAC = \angle DCA = 45^{\circ} \).
10. Рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle DCA \). Они являются накрест лежащими при прямых AB, CD и секущей AC.
11. Так как \( \angle BAC = 45^{\circ} \) и \( \angle DCA = 45^{\circ} \), то \( \angle BAC = \angle DCA \).
12. По признаку параллельности прямых (если накрест лежащие углы равны), прямые AB и CD параллельны.

Доказано: AB || CD.