3. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠BOC = 140°. Найдите ∠BAC, если точка А лежит на меньшей дуге ВС.

Решение:

Центральный угол \( \angle BOC = 140^{\circ} \) опирается на дугу BC. Величина дуги BC равна величине центрального угла, поэтому дуга BC = 140°.

Точка А лежит на меньшей дуге BC. Это означает, что она находится на той части окружности, которая НЕ содержит дугу BC, которая равна 140°. Следовательно, точка А лежит на большей дуге BC.

Величина большей дуги BC равна 360° - 140° = 220°.

Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC. Если точка А лежит на большей дуге BC, то вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на меньшую дугу BC. Это условие в задании противоречиво. Уточним условие.

Предположим, что точка А лежит на большей дуге ВС.

В этом случае вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на меньшую дугу BC. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга BC} \)

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 140^{\circ} \)

\( \angle BAC = 70^{\circ} \)

Если же буквально следовать условию, что точка А лежит на меньшей дуге ВС, то вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на большую дугу ВС (220°).

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 220^{\circ} \)

\( \angle BAC = 110^{\circ} \)

Примечание: Обычно, когда говорят о вписанном угле, опирающемся на дугу, подразумевается, что вершина угла находится на окружности, а дуга - та, что находится внутри угла. В контексте данной задачи, если \( \angle BOC = 140^{\circ} \) (тупой угол), то меньшая дуга BC равна 140°. Вписанный угол \( \angle BAC \), опирающийся на эту дугу, должен быть острым (70°). Если бы \( \angle BAC = 110^{\circ} \), то он опирался бы на большую дугу BC (220°), что соответствует тупому вписанному углу.

Учитывая стандартные формулировки задач, наиболее вероятно, что имеется в виду, что точка А лежит на той части окружности, которая формирует вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Если \( \angle BAC \) - вписанный угол, то он опирается на дугу, НЕ содержащую точку А. Если \( \angle BOC = 140^{\circ} \) - центральный угол, то меньшая дуга BC = 140°.

Принимая, что точка А лежит на большей дуге, чтобы найти вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу.

Ответ: 70°.