3. Тело, масса которого 63 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 25x-2x². Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.

Решение:

Дано:

Масса \( m = 63 \) кг

Закон движения \( S(t) = 25t - 2t^2 \) (где \( t \) — время в секундах)

Найти:

Силу \( F \) и кинетическую энергию \( E_k \) через \( t = 3 \) с

1. Скорость тела:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от закона движения \( S(t) \) по времени \( t \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(25t - 2t^2) = 25 - 4t \]

Найдем скорость в момент времени \( t = 3 \) с:

\[ v(3) = 25 - 4 \cdot 3 = 25 - 12 = 13 \) м/с

2. Ускорение тела:

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) по времени \( t \) (или вторая производная от \( S(t) \)):

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(25 - 4t) = -4 \) м/с²

Ускорение постоянно и не зависит от времени.

3. Сила, действующая на тело:

По второму закону Ньютона, сила \( F \) равна произведению массы \( m \) на ускорение \( a \):

\[ F = m \cdot a = 63 \) кг \cdot \(-4 \) м/с² \( = -252 \) Н

Знак минус означает, что сила направлена противоположно.

4. Кинетическая энергия:

Кинетическая энергия \( E_k \) рассчитывается по формуле:

\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]

Подставим значения массы и скорости в момент \( t = 3 \) с:

\[ E_k = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 63 \) кг \(\cdot\) \( (13 \) м/с)² \( = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 169 = 31.5 \cdot 169 = 5318.5 \) Дж

Ответ: Сила, действующая на тело, равна \( -252 \) Н. Кинетическая энергия через 3 секунды равна \( 5318.5 \) Дж.