3. Сумма двух чисел равна 11; а сумма их квадратов равна 65. Найдите эти числа.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим искомые числа как \(x\) и \(y\). Составим первое уравнение:
   \( x + y = 11 \)
2. Шаг 2: Составим второе уравнение, исходя из суммы квадратов:
   \( x^2 + y^2 = 65 \)
3. Шаг 3: Выразим \(y\) из первого уравнения:
   \( y = 11 - x \)
4. Шаг 4: Подставим это выражение во второе уравнение:
   \( x^2 + (11 - x)^2 = 65 \)
5. Шаг 5: Раскроем скобки и приведем подобные члены:
   \( x^2 + (121 - 22x + x^2) = 65 \)
   \( 2x^2 - 22x + 121 - 65 = 0 \)
   \( 2x^2 - 22x + 56 = 0 \)
6. Шаг 6: Разделим уравнение на 2:
   \( x^2 - 11x + 28 = 0 \)
7. Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 11, произведение — 28. Это числа 4 и 7.
   Или через дискриминант: \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 \).
   \( x_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
   \( x_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
8. Шаг 8: Найдем соответствующие значения \(y\).
   Если \(x = 7\), то \(y = 11 - 7 = 4\).
   Если \(x = 4\), то \(y = 11 - 4 = 7\).

Ответ: Искомые числа — 4 и 7.