3. Решите уравнение методом переброски:

Решение:

Метод переброски (или метод Виета для приведенных уравнений) используется для решения квадратных уравнений вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a \neq 1 \). Для этого умножаем уравнение на \( a \), затем решаем приведенное уравнение \( y^2 + by + ac = 0 \) и находим его корни \( y_1, y_2 \). Корни исходного уравнения будут \( x_1 = \frac{y_1}{a} \) и \( x_2 = \frac{y_2}{a} \).

а) \( 6x^2 - 7x - 3 = 0 \)

Умножим уравнение на 6: \( 6(6x^2) - 6(7x) - 6(3) = 0 \) → \( 36x^2 - 42x - 18 = 0 \).

Сделаем замену: \( y = 6x \). Получим уравнение \( y^2 - 42y - 18 = 0 \).

Ищем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 42. Это числа 45 и -3. (Ошибочно, должно быть 45 и -3, но сумма 42. По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 42 \) и \( y_1 \cdot y_2 = -18 \). Подбираем: \( y_1 = 45 \) и \( y_2 = -3 \). Действительно, \( 45 + (-3) = 42 \) и \( 45 \cdot (-3) = -135 \). Здесь ошибка в вычислениях. Правильные корни для \( y^2 - 42y - 18 = 0 \) по дискриминанту \( D = 42^2 - 4(1)(-18) = 1764 + 72 = 1836 \). \( \sqrt{1836} \) не является целым числом. Значит, есть ошибка в исходном уравнении или в примененном методе. Давайте пересчитаем с корректным применением метода.

Исходное уравнение: \( 6x^2 - 7x - 3 = 0 \).

Умножим на 6: \( 36x^2 - 42x - 18 = 0 \).

Сделаем замену \( y = 6x \), тогда \( y^2 - 42y - 18 = 0 \). Здесь также ошибка, произведение \( ac = 6 \times (-3) = -18 \). Таким образом, уравнение должно быть \( y^2 - 7y - 18 = 0 \) (при умножении \( ax^2+bx+c=0 \) на \( a \) получаем \( a^2x^2 + abx + ac = 0 \), где \( y = ax \), то \( y^2 + by + ac = 0 \)).

Пересчитаем: \( y^2 - 7y - 18 = 0 \).

Ищем два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 7. Это числа 9 и -2.

\( y_1 = 9 \) и \( y_2 = -2 \).

Теперь находим \( x \):

\( x_1 = \frac{y_1}{a} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

\( x_2 = \frac{y_2}{a} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).

Ответ: x₁ = 1.5, x₂ = -1/3.

б) \( 2x^2 + 13x - 24 = 0 \)

Умножим уравнение на 2: \( 2(2x^2) + 2(13x) - 2(24) = 0 \) → \( 4x^2 + 26x - 48 = 0 \).

Сделаем замену: \( y = 2x \). Получим уравнение \( y^2 + 13y - 48 = 0 \) (т.к. \( ac = 2 \times (-24) = -48 \)).

Ищем два числа, произведение которых равно -48, а сумма равна -13. Это числа -16 и 3.

\( y_1 = -16 \) и \( y_2 = 3 \).

Теперь находим \( x \):

\( x_1 = \frac{y_1}{a} = \frac{-16}{2} = -8 \).

\( x_2 = \frac{y_2}{a} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Ответ: x₁ = -8, x₂ = 1.5.