2. Решите уравнения, используя теоремы о коэффициентах квадратного уравнения:

Решение:

Для решения квадратных уравнений воспользуемся теоремами о корнях квадратного уравнения, а именно формулами для нахождения корней через дискриминант.

а) \( 2x^2 + 8x + 6 = 0 \)

1. Выделим коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = 8 \), \( c = 6 \).


2. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16 \]


3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.


4. Найдем корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   
   \( x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 + 4}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
   
   \( x_2 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 - 4}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)

б) \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \)

1. Выделим коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = -6 \), \( c = 4 \).


2. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4 \]


3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.


4. Найдем корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   
   \( x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
   
   \( x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

в) \( -5x^2 - 7x - 2 = 0 \)

1. Выделим коэффициенты: \( a = -5 \), \( b = -7 \), \( c = -2 \).


2. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 49 - 40 = 9 \]


3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.


4. Найдем корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   
   \( x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot (-5)} = \frac{7 + 3}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \)
   
   \( x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot (-5)} = \frac{7 - 3}{-10} = \frac{4}{-10} = -0.4 \)

Ответ: а) \( x_1 = -1, x_2 = -3 \); б) \( x_1 = 2, x_2 = 1 \); в) \( x_1 = -1, x_2 = -0.4 \).