3. Решить уравнение: 1) √(x − 2) = 4; 2) √(5 − x) = √(x − 2); 3) √(x + 1) = 1 − x; 4) √(3x + 1) − √(x + 8) = 1.

1) Область допустимых значений: \(x\ge2\).

Возводим обе части в квадрат: \(x-2=16\), поэтому \(x=18\). Проверка: \(\sqrt{18-2}=4\).

2) ОДЗ: \(2\le x\le5\). Возводим обе части в квадрат: \(5-x=x-2\), откуда \(x=\frac{7}{2}\). Это значение входит в ОДЗ.

3) Для равенства необходимо \(x\ge-1\) и \(1-x\ge0\), то есть \(-1\le x\le1\). Возводим в квадрат: \(x+1=(1-x)^2\), откуда \(x(x-3)=0\). Из корней \(0\) и \(3\) ОДЗ удовлетворяет только \(x=0\). Проверка: \(1=1\).

4) ОДЗ: \(x\ge-\frac13\). Переносим один корень: \(\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+8}\). Возводим в квадрат: \(3x+1=x+9+2\sqrt{x+8}\), поэтому \(x-4=\sqrt{x+8}\), что требует \(x\ge4\). Ещё раз возводим в квадрат: \((x-4)^2=x+8\), откуда \(x^2-9x+8=0\), то есть \(x=1\) или \(x=8\). Условию \(x\ge4\) подходит только \(8\). Проверка: \(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\).

Ответ: 1) \(18\); 2) \(\frac72\); 3) \(0\); 4) \(8\).