3. Рассчитайте энергию связи ядра атома алюминия 30/13 Al, если масса атома равна 29,99817 а.е.м.

Решение:

Энергия связи ядра вычисляется по формуле \( E_{\text{связи}} = \Delta m \cdot c^2 \), где \( \Delta m \) — дефект массы, а \( c \) — скорость света. Дефект массы — это разность между суммой масс нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра.

Для атома алюминия \( ^{30}_{13}\text{Al} \):

• Число протонов \( Z = 13 \)
• Число нейтронов \( N = A - Z = 30 - 13 = 17 \)
• Масса протона \( m_p \approx 1.007276 \) а.е.м.
• Масса нейтрона \( m_n \approx 1.008665 \) а.е.м.
• Масса атома \( m_{\text{атома}} = 29.99817 \) а.е.м.
• Масса электрона \( m_e \approx 0.0005486 \) а.е.м.

Сначала найдем массу ядра. Масса атома равна сумме массы ядра и массы электронов минус энергия связи электронов с ядром, но для расчетов энергии связи ядра часто используют приближение, что масса атома равна массе ядра плюс масса электронов.

Масса ядра \( m_{\text{ядра}} \approx m_{\text{атома}} - Z \cdot m_e \) (для легких элементов разница невелика, но будем использовать более точное значение, где атомная масса дана)

Суммарная масса нуклонов:

\[ \Sigma m_{\text{нуклонов}} = Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 13 \cdot 1.007276 + 17 \cdot 1.008665 = 13.094588 + 17.147305 = 30.241893 \text{ а.е.м.} \]

Дефект массы:

\[ \Delta m = \Sigma m_{\text{нуклонов}} - m_{\text{ядра}} \]

Чтобы найти массу ядра, нужно из массы атома вычесть массу электронов. Однако, так как дана масса атома, а не ядра, можно использовать разницу между суммой масс протонов и нейтронов и массой атома, но это будет не совсем точно, так как атомная масса включает в себя массу электронов. Для точного расчета энергии связи ядра, мы должны использовать массу именно ядра.

Масса ядра \( m_{\text{ядра}} \approx m_{\text{атома}} - Z × m_e \)

\( m_{\text{ядра}} \approx 29.99817 - 13 × 0.0005486 = 29.99817 - 0.0071318 = 29.9910382 \text{ а.е.м.} \)

Дефект массы:

\[ \Delta m = 30.241893 - 29.9910382 = 0.2508548 \text{ а.е.м.} \]

Переведем дефект массы в энергию. Известно, что \( 1 \) а.е.м. эквивалентна \( 931.5 \) МэВ.

\[ E_{\text{связи}} = \Delta m \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.2508548 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 233.75 \text{ МэВ} \]

Ответ: Энергия связи ядра атома алюминия \( ^{30}_{13}\text{Al} \) примерно равна \( 233.75 \) МэВ.