3. При каких значениях переменной разность квадратов выражений 4q и 3 меньше произведения выражений 8q + 7 и 2q - 9? Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию.

Решение:

1. Запишем условие в виде неравенства. Разность квадратов выражений \( 4q \) и \( 3 \) равна \( (4q)^2 - 3^2 \). Произведение выражений \( 8q + 7 \) и \( 2q - 9 \) равно \( (8q + 7)(2q - 9) \).
2. Неравенство: \( (4q)^2 - 3^2 < (8q + 7)(2q - 9) \).
3. Раскроем скобки и упростим: \( 16q^2 - 9 < 16q^2 - 72q + 14q - 63 \)
4. \( 16q^2 - 9 < 16q^2 - 58q - 63 \)
5. Перенесем все члены в одну сторону: \( 16q^2 - 9 - 16q^2 + 58q + 63 < 0 \)
6. \( 58q + 54 < 0 \)
7. \( 58q < -54 \)
8. \( q < -\frac{54}{58} \)
9. \( q < -\frac{27}{29} \)
10. Так как \( -\frac{27}{29} \) немного меньше нуля, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -1.

Ответ: Наибольшее целое число — -1.