3. Постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства: y = (2-x)(x + 6)

Решение:

Сначала раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду \( y = ax^2 + bx + c \).

\( y = (2-x)(x+6) = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12 \)

Свойства функции \( y = -x^2 - 4x + 12 \):

1. Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) (все действительные числа).
2. Область значений: \( E(y) = (-\infty; 9] \) (так как \( a = -1 < 0 \), ветви параболы направлены вниз, и максимальное значение \( y_v \)).
3. Координаты вершины параболы:
• \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2 \)
• \( y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16 \). Вершина: \( (-2; 16) \).
4. Пересечение с осями координат:
• С осью \( Oy \): при \( x=0 \), \( y = -(0)^2 - 4(0) + 12 = 12 \). Точка пересечения: \( (0; 12) \).
• С осью \( Ox \): \( y = 0 \) \( \Rightarrow -x^2 - 4x + 12 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0 \). \( D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 \). \( \sqrt{D} = 8 \). \( x_1 = \frac{-4+8}{2} = 2 \); \( x_2 = \frac{-4-8}{2} = -6 \). Точки пересечения: \( (2; 0) \) и \( (-6; 0) \).
5. Промежутки возрастания и убывания:
• Функция возрастает на интервале \( (-\infty; -2] \).
• Функция убывает на интервале \( [-2; +\infty) \).
6. Чётность/нечётность: Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: График построен, свойства описаны.