3. Постройте две окружности равного радиуса с центрами в концах отрезка АВ так, чтобы а) окружности пересекались б) окружности не имели общих точек

Решение:

Для построения двух окружностей равного радиуса с центрами в концах отрезка AB, нам нужно выбрать радиус \( r \), который будет больше или меньше половины длины отрезка AB.

а) Окружности пересекаются:

Чтобы окружности пересекались, радиус \( r \) должен быть больше половины длины отрезка AB, но меньше длины отрезка AB. То есть, \( \frac{AB}{2} < r < AB \).

Построение:

1. Проведите отрезок AB.
2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку AB (если необходимо, для нахождения середины).
3. Выберите радиус \( r \), такой что \( \frac{AB}{2} < r < AB \).
4. Проведите первую окружность с центром в точке A и радиусом \( r \).
5. Проведите вторую окружность с центром в точке B и радиусом \( r \).
6. Эти две окружности будут пересекаться в двух точках.

б) Окружности не имели общих точек:

Чтобы окружности не имели общих точек, радиус \( r \) должен быть меньше половины длины отрезка AB. То есть, \( r < \frac{AB}{2} \).

Построение:

1. Проведите отрезок AB.
2. Выберите радиус \( r \), такой что \( r < \frac{AB}{2} \).
3. Проведите первую окружность с центром в точке A и радиусом \( r \).
4. Проведите вторую окружность с центром в точке B и радиусом \( r \).
5. Эти две окружности не будут иметь общих точек и будут расположены внутри отрезка AB (если \( r \) достаточно мал).

Ответ: Для пересечения окружностей радиус должен быть больше половины длины отрезка AB. Для отсутствия общих точек радиус должен быть меньше половины длины отрезка AB.