3. Построить прямоугольник ABCD, если A(-1;-1), C (7; 4), D (7;-1). Найти координаты точки В.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем векторы сторон прямоугольника. Так как ABCD — прямоугольник, то векторы AB и DC равны, а векторы AD и BC равны.
2. Шаг 2: Координаты вектора DC: \( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (7 - 7; 4 - (-1)) = (0; 5) \).
3. Шаг 3: Так как \( \vec{AB} = \vec{DC} \), то \( (x_B - x_A; y_B - y_A) = (0; 5) \).
4. Шаг 4: Подставляем координаты точки A: \( (x_B - (-1); y_B - (-1)) = (0; 5) \) или \( (x_B + 1; y_B + 1) = (0; 5) \).
5. Шаг 5: Приравниваем соответствующие координаты: \( x_B + 1 = 0 \) и \( y_B + 1 = 5 \).
6. Шаг 6: Находим координаты точки B: \( x_B = -1 \) и \( y_B = 4 \).
7. Шаг 7: Проверка: Координаты точки B — (-1; 4). Координаты точки D — (7; -1). Координаты вектора AD: \( \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (7 - (-1); -1 - (-1)) = (8; 0) \). Координаты вектора BC: \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (7 - (-1); 4 - 4) = (8; 0) \). Векторы равны, значит, ABCD — параллелограмм. Так как \( \vec{DC} = (0; 5) \) и \( \vec{AD} = (8; 0) \), то эти векторы перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0). Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Ответ: Координаты точки В: (-1; 4).