3) Построить прямоугольник A(-2;1), B(1;1), C(-2;-1). Найти D. Построить симметричный.

Решение:

1. Отметим точки A(-2; 1), B(1; 1), C(-2; -1) на координатной плоскости.

2. Для построения прямоугольника ABCD, нам нужно найти координаты точки D.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB должен быть равен вектору DC, и вектор AC должен быть равен вектору BD.

Рассмотрим векторы:

\( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \)

\( \vec{CB} = (1 - (-2); 1 - (-1)) = (3; 2) \)

\( \vec{AC} = (-2 - (-2); -1 - 1) = (0; -2) \)

Если ABCD — прямоугольник, то \( \vec{AD} = \vec{BC} \) и \( \vec{CD} = \vec{BA} \).

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \)

Пусть D имеет координаты \( (x_D; y_D) \).

\( \vec{AD} = (x_D - (-2); y_D - 1) = (x_D + 2; y_D - 1) \)

Приравниваем \( \vec{AD} = \vec{BC} \):

\( x_D + 2 = -3 => x_D = -5 \)

\( y_D - 1 = -2 => y_D = -1 \)

Таким образом, координаты точки D: (-5; -1).

Проверим, является ли ABCD прямоугольником. Точки A, B, C лежат на одной вертикали и горизонтали, образуя прямой угол. Координаты точки D (-5; -1).

Проверим параллельность и равенство сторон:

\( \vec{AB} = (3; 0) \)

\( \vec{DC} = (-2 - (-5); -1 - (-1)) = (3; 0) \)

\( \vec{AD} = (-5 - (-2); -1 - 1) = (-3; -2) \)

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \)

Проверим диагонали: \( \vec{AC} = (0; -2) \), \( \vec{BD} = (-5 - 1; -1 - 1) = (-6; -2) \). Диагонали не равны.

Пересмотрим задачу. В условии даны три вершины прямоугольника. Обычно это вершины, идущие подряд. Предположим, что A, B, C — это последовательные вершины. Тогда:

\( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \)

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \)

В прямоугольнике \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) должны быть перпендикулярны. Их скалярное произведение должно быть равно 0.

\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot (-3) + 0 \cdot (-2) = -9 + 0 = -9 \). Не равно 0.

Значит, точки A, B, C не являются последовательными вершинами. Возможны другие варианты:

Вариант 1: AB и AC — стороны прямоугольника.

\( \vec{AB} = (3; 0) \)

\( \vec{AC} = (0; -2) \)

Скалярное произведение: \( 3 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0 \). Значит, AB и AC — стороны, угол BAC — прямой. Это значит, что B и C — соседние вершины с A.

Тогда D — четвёртая вершина, и \( \vec{AD} = \vec{BC} \).

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \)

\( \vec{AD} = (x_D - (-2); y_D - 1) = (x_D + 2; y_D - 1) \)

\( x_D + 2 = -3 => x_D = -5 \)

\( y_D - 1 = -2 => y_D = -1 \)

Точка D = (-5; -1).

Вариант 2: AB и BC — стороны прямоугольника.

\( \vec{AB} = (3; 0) \)

\( \vec{BC} = (-3; -2) \)

Скалярное произведение = -9, значит, они не перпендикулярны.

Вариант 3: AC и CB — стороны прямоугольника.

\( \vec{AC} = (0; -2) \)

\( \vec{CB} = (3; 2) \)

Скалярное произведение = \( 0 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = -4 \). Не перпендикулярны.

Наиболее вероятно, что A(-2;1), B(1;1) и C(-2;-1) — это три вершины, и нам нужно найти четвертую. Обратим внимание на координаты:

A(-2; 1), B(1; 1) — имеют одинаковую y-координату, значит, AB — горизонтальная сторона.

A(-2; 1), C(-2; -1) — имеют одинаковую x-координату, значит, AC — вертикальная сторона.

Это означает, что угол BAC — прямой, и AB и AC — стороны прямоугольника.

Тогда четвёртая вершина D будет иметь x-координату, как у C, и y-координату, как у B.

D = (-2; 1) — это точка A, такого быть не может. Значит, A, B, C не идут последовательно.

Давайте предположим, что A(-2;1) и B(1;1) — это две вершины, а C(-2;-1) — одна из соседних или противоположная.

Если AB — одна из сторон, то её длина равна \( 1 - (-2) = 3 \). AB параллельна оси Ox.

Если AC — одна из сторон, то её длина равна \( 1 - (-1) = 2 \). AC параллельна оси Oy.

Значит, A(-2;1) — вершина прямого угла. B(1;1) и C(-2;-1) — соседние вершины.

Тогда четвёртая вершина D должна иметь координаты, которые завершат прямоугольник. \( D = (x_B + x_C - x_A; y_B + y_C - y_A) \) — это для параллелограмма. Для прямоугольника, если A — начало координат, B=(a,0), C=(0,b), то D=(a,b).

У нас A(-2;1). B(1;1) — смещение на (3;0) от A. C(-2;-1) — смещение на (0;-2) от A.

Значит, четвёртая вершина D будет иметь смещение (3;0) от C, или (0;-2) от B.

D = (-2 + 3; -1 + 0) = (1; -1).

Или D = (1 + 0; 1 + (-2)) = (1; -1).

Итак, координаты четвёртой вершины D: (1; -1).

Найдём координаты точки D: (1; -1).

Построим прямоугольник ABCD.

Построить симметричный:

Симметричный относительно чего? Если относительно начала координат (0;0):

A'(2; -1), B'(-1; -1), C'(2; 1), D'( -1; 1).

Если относительно оси Ox:

A'( -2; -1), B'(1; -1), C'( -2; 1), D'(1; 1).

Если относительно оси Oy:

A'(2; 1), B'(-1; 1), C'(2; -1), D'(-1; -1).

Поскольку не указано относительно чего строить симметричный, построим относительно начала координат.

Ответ: Координаты четвертой вершины D: (1; -1). Симметричный прямоугольник относительно начала координат имеет вершины: A'(2; -1), B'(-1; -1), C'(2; 1), D'(-1; 1).