3) Построить график функции $$y = x^2 - 2|x| - 3$$ и найти, при каких значениях $$m$$ график функции $$y=m$$ имеет не менее 1 и не более 3 общих точек с графиком функции $$y = x^2 - 2|x| - 3$$?

Решение:

1. Преобразование функции:
   Функция содержит $$|x|$$, поэтому рассмотрим два случая:
   Если $$x > 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид $$y = x^2 - 2x - 3$$.
   Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид $$y = x^2 - 2(-x) - 3 = x^2 + 2x - 3$$.
   Если $$x = 0$$, то $$y = 0^2 - 2|0| - 3 = -3$$.
2. Построение графика:
   Для $$x > 0$$: $$y = x^2 - 2x - 3$$.
   Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$$.
   $$y_в = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$.
   Вершина параболы в точке $$(1, -4)$$.
   Найдем точки пересечения с осью X (приравняем $$y=0$$): $$x^2 - 2x - 3 = 0$$.
   $$(x - 3)(x + 1) = 0$$, значит $$x = 3$$ или $$x = -1$$.
   Так как мы рассматриваем $$x > 0$$, то точка пересечения с осью X — $$(3, 0)$$.
   При $$x = 0$$, $$y = -3$$.
3. Для $$x < 0$$: $$y = x^2 + 2x - 3$$.
   Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(1)} = -1$$.
   $$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$.
   Вершина параболы в точке $$(-1, -4)$$.
   Найдем точки пересечения с осью X (приравняем $$y=0$$): $$x^2 + 2x - 3 = 0$$.
   $$(x + 3)(x - 1) = 0$$, значит $$x = -3$$ или $$x = 1$$.
   Так как мы рассматриваем $$x < 0$$, то точка пересечения с осью X — $$(-3, 0)$$.
   При $$x = 0$$, $$y = -3$$.
4. Общий график:
   График симметричен относительно оси Y. Он состоит из двух частей парабол с вершинами в $$(-1, -4)$$ и $$(1, -4)$$, пересекающих ось Y в точке $$(0, -3)$$, и пересекающих ось X в точках $$(-3, 0)$$ и $$(3, 0)$$.
5. Анализ пересечений с прямой $$y=m$$:
   Прямая $$y = m$$ — это горизонтальная линия. Нам нужно, чтобы она пересекала график $$y = x^2 - 2|x| - 3$$ не менее чем в 1 точке и не более чем в 3 точках.
   
   • 1 точка пересечения:
     Это происходит, когда прямая $$y = m$$ проходит через вершины парабол, то есть $$m = -4$$.
   • 2 точки пересечения:
     Это происходит, когда прямая $$y = m$$ находится между осью X и вершинами, то есть $$-3 < m < -4$$ (невозможно) или $$-3 < m < 0$$.
     Также 2 точки пересечения при $$m = -3$$ (пересекает ось Y и еще одну точку).
   • 3 точки пересечения:
     Это происходит, когда прямая $$y = m$$ проходит через точку $$(0, -3)$$, но не ниже уровня вершин, то есть $$m = -3$$.
   • 4 точки пересечения:
     Это происходит, когда $$-4 < m < -3$$.
6. Определение диапазона $$m$$:
   Нам нужно, чтобы число точек пересечения было 1, 2 или 3.
   
   • 1 точка: $$m = -4$$.
   • 2 точки: $$-3 < m < 0$$ (здесь 4 точки), $$m=-3$$ (2 точки), $$m=0$$ (2 точки, но это ось X).
     Разберемся с $$y=m$$ и $$y=x^2-2|x|-3$$.
     При $$m=-4$$ (линия проходит через вершины) — 2 точки пересечения.
     При $$m < -4$$ — 0 точек.
     При $$-4 < m < -3$$ — 4 точки.
     При $$m = -3$$ (линия проходит через точку (0, -3)) — 3 точки пересечения (две симметричные точки на параболах и одна в точке (0, -3)).
     При $$-3 < m < 0$$ — 4 точки.
     При $$m = 0$$ (линия проходит через точки (-3, 0) и (3, 0)) — 2 точки пересечения.
     При $$m > 0$$ — 2 точки пересечения.
7. Корректировка анализа:
   Пересмотрим количество точек пересечения прямой $$y=m$$ с графиком $$y = x^2 - 2|x| - 3$$.
   
   • $$m < -4$$: 0 точек.
   • $$m = -4$$: 2 точки (вершины).
   • $$-4 < m < -3$$: 4 точки.
   • $$m = -3$$: 3 точки (пересечение с осью Y и две симметричные точки).
   • $$-3 < m < 0$$: 4 точки.
   • $$m = 0$$: 2 точки (пересечение с осью X).
   • $$m > 0$$: 2 точки.

   Нам нужно, чтобы было не менее 1 и не более 3 точек. Это означает 1, 2 или 3 точки.

   1 точка: невозможно.

   2 точки: $$m = -4$$, $$m = 0$$, $$m > 0$$. Объединяя, получаем $$m = -4$$ и $$m > 0$$.

   3 точки: $$m = -3$$.

   Таким образом, $$m$$ должен быть равен $$-4$$, $$-3$$ или $$m > 0$$.

8. Окончательный ответ:
   Для получения не менее 1 и не более 3 точек пересечения, $$m$$ должен удовлетворять следующим условиям:
   $$m = -4$$ (2 точки),
   $$m = -3$$ (3 точки),
   $$m > 0$$ (2 точки).
9. График:
   Визуализация графика функции $$y = x^2 - 2|x| - 3$$.

Ответ: $$m = -4$$, $$m = -3$$ или $$m > 0$$