292. Найдите значение выражения $$\frac{9a - 16b}{3\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} + 7\sqrt{b}$$ при $$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 12$$.

Решение:

1. Упрощение выражения:
   Числитель дроби $$9a - 16b$$ можно представить как разность квадратов: $$(3\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2$$.
   По формуле разности квадратов $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$, получаем: $$(3\sqrt{a} - 4\sqrt{b})(3\sqrt{a} + 4\sqrt{b})$$.
2. Сокращение дроби:
   Теперь выражение выглядит так: $$\frac{(3\sqrt{a} - 4\sqrt{b})(3\sqrt{a} + 4\sqrt{b})}{3\sqrt{a} + 4\sqrt{b}} + 7\sqrt{b}$$.
   Сокращаем дробь на $$(3\sqrt{a} + 4\sqrt{b})$$ (при условии, что $$3\sqrt{a} + 4\sqrt{b}
   eq 0$$, что верно, так как $$\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{b}$$ неотрицательны и не могут быть оба равны нулю одновременно).
   Остается: $$3\sqrt{a} - 4\sqrt{b} + 7\sqrt{b}$$.
3. Приведение подобных слагаемых:
   Складываем члены с $$\sqrt{b}$$: $$-4\sqrt{b} + 7\sqrt{b} = 3\sqrt{b}$$.
   Итоговое выражение: $$3\sqrt{a} + 3\sqrt{b}$$.
4. Вынесение общего множителя:
   Выносим 3 за скобки: $$3(\sqrt{a} + \sqrt{b})$$.
5. Подстановка значения:
   По условию, $$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 12$$.
   Подставляем это значение: $$3 \times 12 = 36$$.

Ответ: 36