3. Подберите решение к уравнению.

Решение:

Необходимо подобрать общее решение к каждому диофантову уравнению из левой части.

Уравнение 1: \( 3x + 2y = 7 \)

Для нахождения общего решения, сначала найдем одно частное решение. Например, если \( x = 1 \), то \( 3 · 1 + 2y = 7 \) \( → 3 + 2y = 7 \) \( → 2y = 4 \) \( → y = 2 \). Частное решение: \( (1; 2) \).

Общее решение линейного диофантова уравнения \( ax + by = c \) имеет вид: \( x = x_0 + \frac{b}{d}n \), \( y = y_0 - \frac{a}{d}n \), где \( d = \text{НОД}(a, b) \), \( (x_0, y_0) \) — частное решение, \( n \) — целое число.

Здесь \( a = 3, b = 2, c = 7 \). \( \text{НОД}(3, 2) = 1 \). Частное решение \( (1; 2) \).

Общее решение: \( x = 1 + \frac{2}{1}n = 1 + 2n \) \( y = 2 - \frac{3}{1}n = 2 - 3n \).

Среди предложенных вариантов ищем соответствие. Если \( n = 1 \), то \( x = 1 + 2 · 1 = 3 \), \( y = 2 - 3 · 1 = -1 \). Вариант \( x = 3 \), \( y = -1 \) — это \( x = 3 \), \( y = 1 - 2n \) при \( n = 2 \) или \( x = 1 + 2n \), \( y = 2-3n \).

Среди предложенных вариантов есть \( x = 1 + 2n \) и \( y = 2 - 3n \). Давайте проверим соответствие.

Для \( x = 1 + 2n \), \( y = 2 - 3n \):

\( 3(1+2n) + 2(2-3n) = 3 + 6n + 4 - 6n = 7 \). Соответствует.

Соответствие: \( 3x + 2y = 7 → x = 1 + 2n, y = 2 - 3n \).

Уравнение 2: \( 5x - 2y = 12 \)

Найдем частное решение. Если \( x = 2 \), то \( 5 · 2 - 2y = 12 \) \( → 10 - 2y = 12 \) \( → -2y = 2 \) \( → y = -1 \). Частное решение: \( (2; -1) \).

Здесь \( a = 5, b = -2, c = 12 \). \( \text{НОД}(5, -2) = 1 \).

Общее решение: \( x = 2 + \frac{-2}{1}n = 2 - 2n \) \( y = -1 - \frac{5}{1}n = -1 - 5n \).

Среди предложенных вариантов ищем соответствие. Если \( n=1 \), то \( x=2-2=0 \), \( y=-1-5=-6 \). Проверим, что \( 5(0) - 2(-6) = 12 \). Верно.

Среди предложенных вариантов есть \( x = 2 - 2n \) и \( y = -1 - 5n \).

Соответствие: \( 5x - 2y = 12 → x = 2 - 2n, y = -1 - 5n \).

Ответ: \( 3x + 2y = 7 → x = 1 + 2n, y = 2 - 3n \); \( 5x - 2y = 12 → x = 2 - 2n, y = -1 - 5n \).