1. Укажите целочисленные решения уравнения.

Решение:

Уравнение: \( x^2 - 6xy + 9y^2 = 25 \).

Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата разности: \( (x - 3y)^2 = 25 \).

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\( x - 3y = \pm 5 \).

Это приводит к двум линейным уравнениям:

1. \( x - 3y = 5 \)
2. \( x - 3y = -5 \)

Целочисленные решения — это пары \( (x; y) \), которые являются целыми числами. Примерами таких решений являются:

• Для \( x - 3y = 5 \): \( (5; 0) \), \( (8; 1) \), \( (2; -1) \)
• Для \( x - 3y = -5 \): \( (-5; 0) \), \( (-2; 1) \), \( (-8; -1) \)

Исходя из предложенных вариантов:

• \( (5; 0) \) — подходит.
• \( (8; 1) \) — подходит.
• \( (8; -1) \) — не подходит, так как \( 8 - 3(-1) = 8 + 3 = 11 ≠ 5 \) и \( 8 - 3(-1) = 11 ≠ -5 \).
• \( (5; -0) \) — это то же самое, что \( (5; 0) \), подходит.
• \( (8; 3) \) — не подходит, так как \( 8 - 3(3) = 8 - 9 = -1 ≠ 5 \) и \( 8 - 3(3) = -1 ≠ -5 \).

Ответ: (5; 0), (8; 1).