3. Перший насос може наповнити басейн на 12 год повільніше, ніж другий. Через дві години після того, як було включено перший насос, включили другий, і через п'ять годин спільної роботи виявилося, що наповнено 1/3 басейну. За скільки годин може наповнити басейн кожний насос, працюючи самостійно?

Розв'язання:

Нехай \( x \) — час (у годинах), за який другий насос може наповнити басейн самостійно.

Тоді перший насос наповнює басейн за \( x + 12 \) годин.

Продуктивність першого насоса: \( \frac{1}{x+12} \) басейну за годину.

Продуктивність другого насоса: \( \frac{1}{x} \) басейну за годину.

Перший насос працював 2 години самостійно. За цей час він наповнив: \( 2 \cdot \frac{1}{x+12} = \frac{2}{x+12} \) басейну.

Потім включили другий насос. Вони працювали разом 5 годин.

За ці 5 годин перший насос наповнив: \( 5 \cdot \frac{1}{x+12} = \frac{5}{x+12} \) басейну.

За ці 5 годин другий насос наповнив: \( 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x} \) басейну.

Загалом за 5 годин спільної роботи було наповнено \( \frac{1}{3} \) басейну. Отже:

\[ \frac{5}{x+12} + \frac{5}{x} = \frac{1}{3} \].

Помножимо обидві частини рівняння на \( 3x(x+12) \), щоб позбутися знаменників:

\[ 5 \cdot 3x + 5 \cdot 3(x+12) = 1 \cdot x(x+12) \].

\[ 15x + 15(x+12) = x^2 + 12x \].

\[ 15x + 15x + 180 = x^2 + 12x \].

\[ 30x + 180 = x^2 + 12x \].

Перенесемо всі члени в одну сторону, щоб отримати квадратне рівняння:

\[ x^2 + 12x - 30x - 180 = 0 \].

\[ x^2 - 18x - 180 = 0 \].

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою дискримінанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(1)(-180) = 324 + 720 = 1044 \].

\( \sqrt{D} = \sqrt{1044} \). Можна спростити: \( 1044 = 36 \cdot 29 \), тому \( \sqrt{1044} = 6\sqrt{29} \).

\( x_1 = \frac{18 + 6\sqrt{29}}{2} = 9 + 3\sqrt{29} \).

\( x_2 = \frac{18 - 6\sqrt{29}}{2} = 9 - 3\sqrt{29} \).

Оскільки \( x \) — це час, він повинен бути додатним. \( 3\sqrt{29} \) приблизно \( 3 \cdot 5.38 = 16.14 \).

\( x_1 \approx 9 + 16.14 = 25.14 \).

\( x_2 \approx 9 - 16.14 = -7.14 \).

Від'ємне значення \( x_2 \) не підходить.

Отже, другий насос наповнює басейн за \( 9 + 3\sqrt{29} \) годин.

Перший насос наповнює басейн за \( x + 12 = 9 + 3\sqrt{29} + 12 = 21 + 3\sqrt{29} \) годин.

Умова задачі може передбачати цілочисельні відповіді, тому перевіримо, чи немає помилки в розрахунках або у вихідних даних.

Якщо перерахувати, можливо, є більш просте розв'язання, яке не вимагає складних коренів.

Давайте перевіримо, чи не помилилися ми у вихідній частині разом.

За 2 години перший насос виконав \( \frac{2}{x+12} \) роботи.

Разом вони працювали 5 годин. Перший зробив \( \frac{5}{x+12} \), другий - \( \frac{5}{x} \).

Загалом за 2+5=7 годин перший насос зробив \( \frac{7}{x+12} \), а другий за 5 годин - \( \frac{5}{x} \).

Сума робіт = \( \frac{1}{3} \).

\[ \frac{7}{x+12} + \frac{5}{x} = \frac{1}{3} \].

Помножимо на \( 3x(x+12) \):

\[ 7 \cdot 3x + 5 \cdot 3(x+12) = 1 \cdot x(x+12) \].

\[ 21x + 15(x+12) = x^2 + 12x \].

\[ 21x + 15x + 180 = x^2 + 12x \].

\[ 36x + 180 = x^2 + 12x \].

\[ x^2 + 12x - 36x - 180 = 0 \].

\[ x^2 - 24x - 180 = 0 \].

Знайдемо дискримінант:

\[ D = (-24)^2 - 4(1)(-180) = 576 + 720 = 1296 \].

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36 \].

Тепер знайдемо \( x \):

\[ x_1 = \frac{24 + 36}{2} = \frac{60}{2} = 30 \].

\[ x_2 = \frac{24 - 36}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \].

Оскільки час не може бути від'ємним, \( x = 30 \) годин.

Отже, другий насос наповнює басейн за 30 годин.

Перший насос наповнює басейн за \( x + 12 = 30 + 12 = 42 \) години.

Перевіримо: Перший насос працював 2 години. Наповнив \( \frac{2}{42} = \frac{1}{21} \) басейну.

Потім разом працювали 5 годин. Перший наповнив \( \frac{5}{42} \), другий - \( \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \).

Загальна кількість наповненої частини: \( \frac{1}{21} + \frac{5}{42} + \frac{1}{6} = \frac{2}{42} + \frac{5}{42} + \frac{7}{42} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3} \).

Результат збігається з умовою задачі.

Відповідь: Перший насос може наповнити басейн за 42 години, а другий — за 30 годин.